Encontre uma solução geral para a equação dada: y^prime prime prime-y^prime prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^primeprimeprime-y^primeprime+2y=0
O conteúdo é resolução de EDO por equação característica; vamos assumir y=e^rx e encontrar os valores de r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx e suas derivadas na EDO obtemos a equação característica
r^3 - r^2 +2 = 0

Passo 3

Procuramos raízes reais racionais pela regra de racionalidade (divisores de 2): testando r=-1
(-1)^3 -(-1)^2 +2 = -1 -1 +2 =0,
logo r=-1 é raiz. Fazendo a divisão polinomial por (r+1) obtemos
r^3 - r^2 +2 = (r+1)(r^2 -2r +2)

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
r^2 -2r +2 =0
usando a fórmula de Bhaskara,
r = 2 pm raiz4 - 82 = 1 pm i

Passo 5

Como as raízes são r1=-1 e r2,3=1pm i, a solução geral real é
y(x) = C1 e^-x + e^xl(C2cos x + C3sin xr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + e^xl(C2cos x + C3sin xr)

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