Resolva o problema de valor inicial dado: y^prime prime-2 y^prime+y=0; y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = 0
sujeita às condições iniciais
y(0) = 1, y'(0) = -2
O método envolve montar a equação característica associada.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot1 = 4 - 4 = 0,
logo há uma raiz real dupla.

Passo 3

Como a raiz é dupla, com
r = 22 = 1,
a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^rx + C2,x,e^rx = C1 e^x + C2,x,e^x

Passo 4

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = ddxl(C1 e^x + C2 x e^xr) = C1 e^x + C2l(e^x + x e^xr) = (C1 + C2)e^x + C2 x e^x

Passo 5

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Avaliando em x=0:
y(0) = C1 = 1,
y'(0) = (C1 + C2) = -2
Como C1=1, da segunda condição segue
1 + C2 = -2 Longrightarrow C2 = -3

Resposta

boxedy(x) = e^x - 3x,e^x

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