Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo: a(t) = -e^(2t), v(0) = 1 e x(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo uniforme acelerado. A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função posição . A aceleração é dada por , e sabemos que no tempo inicial , a velocidade e a posição . Nosso objetivo é encontrar a função posição .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade , ou seja, . Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Integrando , usamos a regra da integral de uma exponencial:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial da velocidade para encontrar o valor de . Sabemos que :
Então, a função velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a função velocidade, podemos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial da posição para encontrar . Sabemos que :
Então, a função posição fica:

Resposta

A função posição da partícula é:

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