Ricardo é um programador muito respeitado em Parnaíba. Após finalizar um programa contábil para uma empresa de grande porte, ele comprou um Jeep Grand Compass e combina uma carona com a amiga de turma Natália para irem juntos fazer a prova de Cálculo III. Para evitarem desencontros, acertam os relógios considerando inclusive os segundos. Ricardo e Natália descrevem trajetórias descritas pelas equações
Esboce suas trajetórias.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois trajetos descritos pelas equações paramétricas de Ricardo e Natália:
O conteúdo envolvido aqui é Cálculo III, especificamente o estudo de equações paramétricas para descrever trajetórias no plano. Vamos precisar entender como converter essas equações paramétricas para a forma cartesiana (x e y) e identificar o tipo de curva que cada trajetória representa para, assim, esboçar seus gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a trajetória de Ricardo, que é dada por
.
Essas equações paramétricas representam as coordenadas x e y em função de t. Vamos chamar:
Para eliminar o parâmetro t e chegar à equação cartesiana, a gente resolve uma das equações para t e substitui na outra.
Vamos resolver a primeira equação para t:
Agora, substituímos t na segunda equação:
Simplificando:
Então, a trajetória de Ricardo é uma reta com equação
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a trajetória de Natália, dada por
.
Novamente, temos as coordenadas x e y em função de t:
Vamos eliminar o parâmetro t. Da primeira equação:
Substituindo t na segunda equação:
Expandindo o quadrado:
Então, a trajetória de Natália é uma parábola com equação
.
Passo 4
Agora que temos as equações cartesianas das trajetórias de ambos, vamos esboçá-las.
Trajetória de Ricardo:
- Trata-se de uma reta com coeficiente angular 3 e intercepto y em -1.
- Por ser uma reta, a trajetória é uma linha reta crescente.
Trajetória de Natália:
- É uma parábola que abre para cima (coeficiente de
é positivo). - Podemos encontrar o vértice da parábola para facilitar o esboço.
Calculando o vértice:
Então, o vértice está em (1, 3).
Resposta
As trajetórias são:
- Ricardo: uma reta com equação
. - Natália: uma parábola com equação
.