Determine os vetores unitários tangente, normal e binormal, T, N, B, respectivamente, como funções do parâmetro t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar os vetores unitários tangente, normal e binormal, que chamamos de T, N e B, respectivamente, como funções do parâmetro $ t $. Isso faz parte do estudo de Geometria Diferencial de Curvas, onde analisamos como uma curva se comporta no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e o conceito de normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente unitário $ \vec{T}(t) $. O vetor tangente indica a direção em que a curva está indo no ponto $ t $.
  1. Definição do vetor tangente:
    T(t)
    Aqui, $ \vec{r},’(t) $ é a derivada da posição em relação a $ t $, ou seja, o vetor velocidade na curva.
  2. Passos para calcular $ \vec{T}(t) $:
    • Calcule a derivada $ \vec{r},’(t) $.
    • Encontre a norma (ou módulo) desse vetor: $ ||\vec{r},’(t)|| $.
    • Divida $ \vec{r},’(t) $ pela sua norma para obter o vetor unitário tangente $ \vec{T}(t) $.

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal unitário $ \vec{N}(t) $. Esse vetor aponta na direção em que a curva está “virando”.
  1. Definição do vetor normal:
    N(t)
    Aqui, $ \vec{T},’(t) $ é a derivada do vetor tangente em relação a $ t $.
  2. Passos para calcular $ \vec{N}(t) $:
    • Calcule a derivada $ \vec{T},’(t) $.
    • Encontre a norma desse vetor: $ ||\vec{T},’(t)|| $.
    • Divida $ \vec{T},’(t) $ pela sua norma para obter o vetor unitário normal $ \vec{N}(t) $.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o vetor binormal unitário $ \vec{B}(t) $. Esse vetor completa um sistema de coordenadas ortonormal junto com $ \vec{T}(t) $ e $ \vec{N}(t) $.
  1. Definição do vetor binormal:
    B(t)
    O símbolo $ \times $ representa o produto vetorial, que resulta em um vetor perpendicular tanto a $ \vec{T}(t) $ quanto a $ \vec{N}(t) $.
  2. Passos para calcular $ \vec{B}(t) $:
    • Realize o produto vetorial entre $ \vec{T}(t) $ e $ \vec{N}(t) $.
    • O resultado será o vetor binormal unitário $ \vec{B}(t) $.

Resposta

Portanto, os vetores unitários tangente, normal e binormal como funções do parâmetro $ t $ são:
t
T(t) = r,'(t)||r,'(t)||
N(t) = T,'(t)||T,'(t)||

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