Verifique se o conjunto de todas as funções do tipo e^a x, com a in1,2,3, é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
e^x,,e^2x,,e^3x
é linearmente independente no espaço de funções reais. O que precisamos é aplicar a definição de independência linear — ou usar o Wronskiano — para mostrar que não existe combinação não trivial que seja identicamente zero.

Passo 2

Pela definição, dizer que e^x,,e^2x,,e^3x são linearmente independentes significa que, se
c1 e^x + c2 e^2x + c3 e^3x = 0
para todo xinR, então necessariamente
c1 = c2 = c3 = 0
Uma forma prática de comprovar isso é calcular o Wronskiano das três funções. Se o Wronskiano for não nulo em algum ponto (na verdade num intervalo), isso garante a independência.

Passo 3

Chamando
f1(x)=e^x, f2(x)=e^2x, f3(x)=e^3x,
temos as derivadas
f1'(x)=e^x,;f1''(x)=e^x, f2'(x)=2e^2x,;f2''(x)=4e^2x, f3'(x)=3e^3x,;f3''(x)=9e^3x
O Wronskiano é
W(x)= e^x & e^2x & e^3x e^x & 2e^2x & 3e^3x e^x & 4e^2x & 9e^3x
Fatorando e^x da primeira coluna, e^2x da segunda e e^3x da terceira, fica
W(x)=e^xcdot e^2xcdot e^3x 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 1 & 4 & 9 =e^6xcdot l((2-1)(9-3)-(3-1)(4-1)r) =2,e^6x
Note que 2,e^6xneq 0 para todo x.

Passo 4

Como o Wronskiano W(x)=2,e^6x é diferente de zero em R, segue-se que as funções e^x, e^2x e e^3x são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto e^x,,e^2x,,e^3x é linearmente independente.

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