Verifique se o conjunto de todas as funções do tipo , com , é linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente no espaço de funções reais. O que precisamos é aplicar a definição de independência linear — ou usar o Wronskiano — para mostrar que não existe combinação não trivial que seja identicamente zero.
Passo 2
Pela definição, dizer que são linearmente independentes significa que, se
para todo , então necessariamente
Uma forma prática de comprovar isso é calcular o Wronskiano das três funções. Se o Wronskiano for não nulo em algum ponto (na verdade num intervalo), isso garante a independência.
Passo 3
Chamando
temos as derivadas
O Wronskiano é
Fatorando e^x da primeira coluna, e^2x da segunda e e^3x da terceira, fica