(valor 3,0) Calcule as integrais
integral1^2 x-1x^3+x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^2 x-1x^3+x,dx
O conteúdo aqui é a integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais após fatorar o denominador.

Passo 2

Fatorando o denominador temos x^3+x=x(x^2+1). Assumimos
x-1x(x^2+1) = Ax + Bx+Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1) e igualando coeficientes:
x-1 = A(x^2+1)+(Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A
Igualando coeficientes:
A + B = 0, C = 1, A = -1
Logo A=-1, B=1 e C=1. Assim
x-1x(x^2+1) = -1x + x+1x^2+1

Passo 3

Escrevendo a integral e separando termos:
integral x-1x^3+x,dx = integrall(-1x + xx^2+1 + 1x^2+1r)dx = -integraldxx + integralx,dxx^2+1 + integraldxx^2+1
As primitivas são
-integraldxx = -ln x, integralx,dxx^2+1 = 12ln(x^2+1), integraldxx^2+1 = arctan x
Portanto uma primitiva é
F(x) = -ln x + 12ln(x^2+1) + arctan x

Passo 4

Avaliaremos F(x) de 1 até 2:
F(2)-F(1) = l(-ln2 + tfrac12ln5 + arctan2r) - l(-ln1 + tfrac12ln2 + arctan1r)
Como ln1=0 e arctan1=tfracpi4,
F(2)-F(1) = -ln2 + tfrac12ln5 + arctan2 - tfrac12ln2 - tfracpi4 = tfrac12ln5 - tfrac32ln2 + arctan2 - tfracpi4
Isso também pode ser escrito como
tfrac12ln58 + arctan2 - tfracpi4.

Resposta

12ln58 + arctan2 - pi4

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