Uma máquina tem um custo inicial de \ 50.000 . Seu valor de mercado diminui20 % anualmente. Os custos de operação e manutenção começam comçãçãç$3.500 no primeiro ano e aumenta 2.000 a cada ano. Sendo a TMA da firma é igual a 9\%, encontre o mínimo CAUE e sua vida econômica. R.: \éíô17.243, com 4 anos. (Newnan; Eschenbach; Lavelle, 2012)

Passo 1

O enunciado apresenta uma máquina com investimento inicial de \$50\,000, depreciação de 20\% ao ano e custos de operação e manutenção que começam em \$3\,500 no ano 1 e aumentam \$2\,000 a cada ano. A taxa mínima de atratividade é i=9\%. Precisamos calcular o Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) para diferentes vidas úteis n e determinar o n que minimiza esse CAUE (vida econômica).

Passo 2

A primeira coisa é expressar o valor de revenda (salvage) ao final de n anos:
S_n = 50\,000 \times (0{,}8)^n.
Os custos de operação e manutenção no ano k são
C_{\mathrm{OM},k} = 3\,500 + 2\,000\,(k-1).

Passo 3

Para cada vida útil n, vamos usar o método de valor presente e depois converter em equivalente anual. A taxa de capitalização é i=0{,}09. Definimos o fator de conversão capital-recurso (CRF):
\mathrm{CRF}(i,n) = \frac{i\,(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}.

Passo 4

O valor presente dos custos para vida n é
\mathrm{PV}(n) = 50\,000 + \sum_{k=1}^{n}\frac{C_{\mathrm{OM},k}}{(1{+}0{,}09)^k} - \frac{S_n}{(1{+}0{,}09)^n}.
Em seguida o CAUE para vida n é
\mathrm{CAUE}(n) = \mathrm{PV}(n)\times \mathrm{CRF}(0{,}09,n).

Passo 5

Calculamos \mathrm{CAUE}(n) para n=1,2,3,4,5 (valores aproximados):
Para n=1:
\mathrm{CAUE}(1)\approx\$18\,009
Para n=2:
\mathrm{CAUE}(2)\approx\$17\,566
Para n=3:
\mathrm{CAUE}(3)\approx\$17\,329
Para n=4:
\mathrm{CAUE}(4)\approx\$17\,243
Para n=5:
\mathrm{CAUE}(5)\approx\$17\,286

Passo 6

Observando os valores, o mínimo CAUE ocorre em n=4 anos, com
\mathrm{CAUE}_{\min}\approx\$17\,243.

Resposta

O custo anual equivalente mínimo é \$17\,243 e a vida econômica ótima é de 4 anos.

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