Uma equação de movimento da forma s=A e^-c t cos (omega t+de<a) representa uma oscilação amortecida de um objeto. Encontre a velocidade e a aceleração do objeto.

Passo 1

O enunciado dá a posição
s(t)=A,e^-c tcos(omega t+de<a)
de um movimento amortecido e pede a velocidade v(t)=s'(t) e a aceleração a(t)=v'(t). Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia em derivadas de e^-c t e de cos(omega t+de<a).

Passo 2

Escrevemos
s(t)=A;u(t);v(t),
com u(t)=e^-c t e v(t)=cos(omega t+de<a). Aplicando a regra do produto,
s'(t)=Al(u'(t),v(t)+u(t),v'(t)r)
Como
u'(t)=-c,e^-c t, v'(t)=-omegasin(omega t+de<a),
segue
s'(t)=Al(-c,e^-c tcos(omega t+de<a)+e^-c tl(-omegasin(omega t+de<a)r)r)

Passo 3

Fatorando e^-c t e reorganizando, obtemos
v(t)=s'(t)=-A,e^-c tl(ccos(omega t+de<a)+omegasin(omega t+de<a)r)

Passo 4

Para a aceleração, derivamos v(t). Escrevendo
v(t)=-Al(c,e^-c tcostheta+omega,e^-c tsinthetar),
com theta=omega t+de<a, aplicamos de novo a regra do produto em cada termo e a regra da cadeia em costheta e sintheta.

Passo 5

O cálculo completo leva a
a(t)=v'(t) =A,e^-c tl((c^2-omega^2)cos(omega t+de<a)+2,c,omegasin(omega t+de<a)r)

Resposta

v(t)=-A,e^-c tl(ccos(omega t+de<a)+omegasin(omega t+de<a)r),
a(t)=A,e^-c tl((c^2-omega^2)cos(omega t+de<a)+2,c,omegasin(omega t+de<a)r)

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