Determine o volume e o centróide do sólido W limitado pelo parabolóide z=x^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano x y.

Passo 1

Vamos determinar o volume e o centróide de W limitado por z=x²+y², x²+y²=4 e o plano z=0. O conteúdo aqui é integração tripla em coordenadas cilíndricas e cálculo de momentos para centróide.

Passo 2

O volume V é dado por ∭_W dV. Como W fica entre z=0 e z=x²+y² sobre a região R: x²+y²≤4, temos:
Convertendo para coordenadas polares (x=r cosθ, y=r sinθ, z=z) e lembrando que x²+y²=r² e dA=r
dr
dθ, obtemos:
O volume fica
V=integral duplaR(x^2+y^2),dA=integral0^2pi!integral0^2r^2,(r,dr),dθ=integral0^2piintegral0^2r^3,dr,dθ

Passo 3

Calculando a integral:
integral0^2r^3,dr=r^44|0^2=164=4,
e então
V=integral0^2pi4,dθ=8pi

Passo 4

Por simetria em θ, o x̄ e ȳ são zero.
Para z̄, usamos z̄=(1/V)∭_W z
dV. Primeiro montamos o momento:
integral triplaW z,dV=integral duplaRl(integral0^r^2z,dzr),dA=integral duplaR(r^2)^22,dA=12integral duplaRr^4,dA

Passo 5

Convertendo de novo para polares:
integral triplaW z,dV=12integral0^2pi!integral0^2r^4,(r,dr),dθ=12integral0^2piintegral0^2r^5,dr,dθ

Passo 6

Calculando:
integral0^2r^5,dr=r^66|0^2=646=323,
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integral triplaW z,dV=12cdot323cdot2pi=32pi3

Passo 7

Agora
z̄=1Vintegral triplaW z,dV=18picdot32pi3=43

Resposta

Volume = 8pi, centróide = l(0,0,tfrac43r).

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