Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma esfera inscrita em um cubo cuja aresta mede 1\\ \text{dm}.
Informações fornecidas:
  • Aresta do cubo: \,a=1\\ \text{dm}.
  • A esfera é inscrita no cubo (ou seja, toca todas as faces do cubo).

Passo 2

Entender o que significa “esfera inscrita em um cubo”. Quando uma esfera é inscrita num cubo, ela toca cada uma das seis faces do cubo exatamente no ponto médio dessas faces. Por essa razão o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. Em símbolos: o diâmetro D da esfera satisfaz
D=a.

Passo 3

Definir o raio da esfera. O raio r é metade do diâmetro, então
r=\frac{D}{2}=\frac{a}{2}.
Como \,a=1\\ \text{dm}, temos
r=\frac{1}{2}\\ \text{dm}.

Passo 4

Apresentar a fórmula do volume de uma esfera e explicar os símbolos. A fórmula conhecida para o volume V de uma esfera de raio r é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde:
  • V é o volume (em \text{dm}^3 se r estiver em \text{dm});
  • \pi é a constante matemática (aprox. 3{,}14159\ldots);
  • r é o raio da esfera.

Passo 5

Substituir o valor do raio na fórmula. Temos r=\dfrac{1}{2}, então
V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^{3}.

Passo 6

Calcular passo a passo a potência e a multiplicação racional. Primeiro
\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}.
Logo
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{1}{8}.
Agora multiplicar as frações:
\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Obter a expressão final exata do volume:
V=\frac{1}{6}\pi\\ \text{dm}^{3}.

Passo 8

Calcular uma aproximação numérica para facilitar a interpretação. Usando \pi\approx3{,}14159265,
V\approx\frac{\pi}{6}\approx0{,}5235987756\\ \text{dm}^{3}.
Arredondando para quatro casas decimais:
V\approx0{,}5236\\ \text{dm}^{3}.
Observação prática: 1\\ \text{dm}^{3}=1\\ \text{L}, então o volume é aproximadamente 0{,}5236\\ \text{L}.

Resposta

\displaystyle V=\frac{\pi}{6}\\ \text{dm}^{3}\approx0{,}5236\\ \text{dm}^{3}

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