Então, sendo f(x)=x^2+1, temos que
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =sumi=1^n[(3(i-1)n)^2+1] cdot 3n=sumi=1^n(9(i-1)^2n^2+1) cdot 3n & =sumi=1^n(27(i-1)^2n^3+3n)=27n^3 cdot sumi=1^n(i-1)^2+sumi=1^n 3n & =27n^3 cdot(sumi=1^n i^2-2 cdot sumi=1^n i+sumi=1^n 1)+3n cdot sumi=1^n 1
Substituindo sumi=0^n 1=n, sumi=0^n i=n(n+1)2 e sumi=0^n i^2=n(n+1)(2 n+1)6, segue que a igualdade acima fica
sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =27n^3(n(n+1)(2 n+1)6-2 n(n+1)2+n)+3n cdot n & =9+272 n+276 n^2-27n+3
Logo, o limite dessas somas, quando n +infty, é dado por
lim n +infty sumi=1^n f(3(i-1)n) cdot 3n & =lim n +infty(9+272 n+276 n^2-27n+3) & =lim n +infty 9+lim n +infty 272 n+lim n +infty 276 n^2-lim n +infty 27n+lim n +infty 3 & =9+3 & =12
isto é, a área sob a curva f no intervalo [0,3] é 12 u.a.
4.4 Calcule as seguintes integrais:
integral2^4 x^pi-1 d x
Solução: Temos que
integral2^4 x^pi-1 d x=[x^pipi]2^4=4^pipi-2^pipi approx 21,98

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral definida integral2^4 x^pi-1,dx. O conteúdo principal é a regra de potência para integrais, que diz que para nneq -1 temos integral x^n,dx=x^n+1n+1+C. Aqui, vamos usar essa regra com n=pi-1.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de x^pi-1, aplicamos a regra de potência: a primitiva é x^(pi-1)+1(pi-1)+1=x^pipi. Portanto,
integral x^pi-1,dx=x^pipi+C

Passo 3

Como a integral é definida de 2 a 4, avaliamos a primitiva nesses limites:
[x^pipi]2^4=4^pipi-2^pipi

Passo 4

O resultado exato fica 4^pi-2^pipi. Para obter uma aproximação numérica, basta calcular esse valor, que dá aproximadamente 21,98.

Resposta

4^pi-2^pipiapprox21,98

Exercícios relacionados