1. Determine o volume delimitado pelos planos z+x+y=a e o plano x y, com x >= 0 e y >= 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar o volume da região no primeiro octante, limitada pelo plano z + x + y = a acima e pelo plano z = 0 abaixo. O conteúdo envolve integração múltipla e geometria de um tetraedro.

Passo 2

A projeção dessa região no plano xy é o triângulo definido por x >= 0, y >= 0 e x + y <= a. Denotamos essa região de projeção por D.

Passo 3

Expressamos o volume como integral dupla da altura (diferença entre o plano z + x + y = a e z=0) sobre D:
V = integral duplaD (a - x - y),dA

Passo 4

Para avaliar, usamos coordenadas cartesianas:
V = integralx=0^a integraly=0^a - x (a - x - y),dy,dx
Integrando em y:
$$\int_{0}^{a - x} (a - x - y),dy = \frac{(a - x)^2}{2}.
integral0^a - x (a - x - y),dy = (a - x)^22 V = \int_{0}^{a} \frac{(a - x)^2}{2},dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6}.
$$

Resposta

a^36

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