- Determine o volume delimitado pelos planos
e o plano
, com
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar o volume da região no primeiro octante, limitada pelo plano
acima e pelo plano
abaixo. O conteúdo envolve integração múltipla e geometria de um tetraedro.
Passo 2
A projeção dessa região no plano
é o triângulo definido por
e
. Denotamos essa região de projeção por
.
Passo 3
Expressamos o volume como integral dupla da altura (diferença entre o plano
e
) sobre
:
Passo 4
Para avaliar, usamos coordenadas cartesianas:
Integrando em
$$\int_{0}^{a - x} (a - x - y),dy = \frac{(a - x)^2}{2}.
$$