Usando a definição de limites, prove que:
lim n infty 3 n^2+1n^2=3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite de sequência, que a sequência an=3n^2+1n^2 converge para 3 quando ntoinfty. Vamos usar a definição: dado varepsilon>0, devemos encontrar NinN tal que, para todo n>= N, valha |an-3|.

Passo 2

Primeiro, calculamos a diferença entre an e o candidato a limite 3:
|an-3|=|3n^2+1n^2-3|=|3n^2+1-3n^2n^2|=1n^2

Passo 3

Queremos então garantir que 1n^2. Isso ocorre sempre que
n^2>1varepsilon
ou seja, quando
n>1raizvarepsilon

Passo 4

Logo, basta escolher N como qualquer inteiro maior que 1/raizvarepsilon. Formalmente, dado varepsilon>0, definimos
N=lceil1raizvarepsilonrceil

Passo 5

Então, para todo n>= N, temos
|an-3|=1n^2<=1N^2

Passo 6

o que, pela definição de limite, prova que anto3.

Resposta

3

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