Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x=x(t). Determine x=x(t) sabendo que:
d^2 xd t^2=-e^2 t e v(0)=1 e x(0)=1

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração da partícula é dada por x''(t) = -e^2t, com as condições iniciais v(0)=1 e x(0)=1. Vamos precisar integrar duas vezes a aceleração para obter a velocidade e depois a posição, usando as condições iniciais para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, integramos a aceleração para achar a velocidade. Como x''(t) = -e^2t, temos
v(t) = integral x''(t),dt = integral -e^2t,dt = -tfrac12 e^2t + C1
Em t=0, sabemos que v(0)=1, logo
1 = v(0) = -tfrac12 e^0 + C1 = -tfrac12 + C1 implies C1 = tfrac32
Assim,
v(t) = -tfrac12 e^2t + tfrac32

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter x(t):
x(t) = integral v(t),dt = integral l(-tfrac12 e^2t + tfrac32r) dt = -tfrac14 e^2t + tfrac32 t + C2
Usando x(0)=1, temos
1 = x(0) = -tfrac14 e^0 + 0 + C2 = -tfrac14 + C2 implies C2 = tfrac54
Portanto,
x(t) = -tfrac14 e^2t + tfrac32 t + tfrac54

Resposta

x(t) = -tfrac14 e^2t + tfrac32 t + tfrac54

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