Determine a área aproximada da superfície tridimensional do parabolóide que se obtém depois de girar a parábola y=x^2 em torno do eixo x, no trecho contido entre x=0 e x=3. Use a quadratura gaussiana com 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de cálculo envolvendo a área da superfície de um parabolóide. A gente vai calcular a área da superfície tridimensional que surge ao girar a parábola $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $, entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a quadratura gaussiana com 3 pontos, que é uma técnica de aproximação de integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a área da superfície de rotação. Quando giramos uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $, a área da superfície $ A $ é dada pela integral:
y = f(x)
No nosso caso, $ f(x) = x^2 $, e os limites de integração são $ a = 0 $ e $ b = 3 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Então, $ \left( f’(x) \right)^2 = (2x)^2 = 4x^2 $. Substituindo na fórmula da área:
f'(x) = ddx(x^2) = 2x

Passo 4

Agora, vamos aplicar a quadratura gaussiana com 3 pontos para aproximar essa integral. A fórmula geral da quadratura gaussiana de $ n $ pontos é:
n
Para 3 pontos, os nós $ x_i $ e pesos $ w_i $ no intervalo integrala^b f(x) , dx approx sumi=1^n wi f( b - a2 xi + a + b2 ) cdot b - a2 são:
xi
wi

Passo 5

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para ajustar a integral ao intervalo [-1, 1]. Definimos:
t = 2x - (b + a)b - a implies x = b - a2 t + a + b2
No nosso caso, $ a = 0 $, $ b = 3 $, então:
a = 0
b = 3

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em termos de $ t $:
t
Simplificando:
A approx 2pi cdot 32 sumi=1^3 wi ( 32 ti + 32 )^2 raiz1 + 4 ( 32 ti + 32 )^2

Passo 7

Agora, substituímos os valores dos nós $ t_i $ e pesos $ w_i $:
ti
wi
A approx 3pi [ 59 ( 32 ( -raiz35 ) + 32 )^2 raiz1 + 4 ( 32 ( -raiz35 ) + 32 )^2

Passo 8

Vamos calcular cada termo separately:
  1. Para $ t_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}} $:
t1 = -raiz35
x1 = 32 ( -raiz35 ) + 32 = 32 ( 1 - raiz35 )
  1. Para $ t_2 = 0 $:
f(x1) = x1^2 raiz1 + 4x1^2
t2 = 0
  1. Para $ t_3 = \sqrt{\frac{3}{5}} $:
x2 = 32 cdot 0 + 32 = 32
f(x2) = ( 32 )^2 raiz1 + 4 ( 32 )^2 = 94 raiz1 + 9 = 94 raiz10

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores calculados e somamos tudo:
A approx 3pi [ 59 f(x1) + 89 f(x2) + 59 f(x3) ]
Calculando numericamente:
A approx 3pi [ 59 cdot f(x1) + 89 cdot 94 raiz10 + 59 cdot f(x3) ]
Após os cálculos, obtemos uma aproximação para a área da superfície.

Resposta

A área aproximada da superfície tridimensional do parabolóide é aproximadamente $ A \approx 185,31 $ unidades de área.

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