Determine a área aproximada da superfície tridimensional do parabolóide que se obtém depois de girar a parábola
em torno do eixo
, no trecho contido entre
e
. Use a quadratura gaussiana com 3 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de cálculo envolvendo a área da superfície de um parabolóide. A gente vai calcular a área da superfície tridimensional que surge ao girar a parábola $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $, entre $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Para isso, vamos usar a quadratura gaussiana com 3 pontos, que é uma técnica de aproximação de integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como encontrar a área da superfície de rotação. Quando giramos uma curva $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $, a área da superfície $ A $ é dada pela integral:
No nosso caso, $ f(x) = x^2 $, e os limites de integração são $ a = 0 $ e $ b = 3 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
Então, $ \left( f’(x) \right)^2 = (2x)^2 = 4x^2 $. Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a quadratura gaussiana com 3 pontos para aproximar essa integral. A fórmula geral da quadratura gaussiana de $ n $ pontos é:
Para 3 pontos, os nós $ x_i $ e pesos $ w_i $ no intervalo
são:
Passo 5
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para ajustar a integral ao intervalo
. Definimos:
No nosso caso, $ a = 0 $, $ b = 3 $, então:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em termos de $ t $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos os valores dos nós $ t_i $ e pesos $ w_i $:
Passo 8
Vamos calcular cada termo separately:
- Para $ t_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}} $:
- Para $ t_2 = 0 $:
- Para $ t_3 = \sqrt{\frac{3}{5}} $:
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores calculados e somamos tudo:
Calculando numericamente:
Após os cálculos, obtemos uma aproximação para a área da superfície.
Resposta
A área aproximada da superfície tridimensional do parabolóide é aproximadamente $ A \approx 185,31 $ unidades de área.