Verifique que lim x +infty(raizx+raizx-raizx-raizx)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos o limite quando $ x $ tende a mais infinito de $ \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x - \sqrt{x}} $. Isso envolve conceitos de limites e funções radicais. Para resolver, vamos usar técnicas de manipulação de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto $ \sqrt{x + \sqrt{x}} $ quanto $ \sqrt{x - \sqrt{x}} $ tendem a $ \sqrt{x} $ quando $ x $ cresce muito. Mas queremos saber a diferença exata entre elas nesse limite. Para simplificar a expressão, vamos multiplicar e dividir pela conjugada da diferença, ou seja, multiplicar por $ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}} $.

Passo 3

Multiplicando, temos:
(raizx + raizx - raizx - raizx) times raizx + raizx + raizx - raizxraizx + raizx + raizx - raizx
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx + raizx)^2 - (raizx - raizx)^2 = (x + raizx) - (x - raizx) = 2raizx

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
2raizxraizx + raizx + raizx - raizx
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que $ \sqrt{x + \sqrt{x}} $ e $ \sqrt{x - \sqrt{x}} $ são aproximadamente $ \sqrt{x} $ quando $ x $ é muito grande. Então, podemos aproximar o denominador por $ 2\sqrt{x} $.

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão, temos:
2raizx2raizx = 1

Resposta

Portanto, $ \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}) = 1 $.

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