Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide circular z=x^2+y^2 e acima do retângulo R=[2,2] times[-3,3].

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar o volume do sólido que fica “embaixo” do paraboloide
z = x^2 + y^2
e “acima” do retângulo
R = [-2,2]times[-3,3]
no plano xy.
Isso é um clássico de integrais duplas: a ideia é usar a fórmula
V ;=;integral duplaR f(x,y),dA
onde f(x,y)=x^2+y^2 é a altura do sólido em cada ponto (x,y). Depois a gente monta a integral iterada e calcula passo a passo.

Passo 2

Montando a integral iterada, como R é um retângulo podemos escrever:
V ;=;integral duplaR(x^2+y^2),dA ;=;integralx=-2^2!integraly=-3^3(x^2+y^2),dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integraly=-3^3(x^2+y^2),dy =integral-3^3x^2,dy;+;integral-3^3y^2,dy =x^2l[yr]-3^3 ;+;l[tfracy^33r]-3^3
Agora avalia:
x^2(3-(-3)) + l(tfrac273-tfrac-273r) =6x^2 +18
Logo a integral interna vira 6x^2+18.

Passo 4

Agora sobra integrar em x:
V=integral-2^2(6x^2+18),dx =6integral-2^2x^2,dx ;+;18integral-2^21,dx
Calcule cada parte:
6l[tfracx^33r]-2^2 =2l(8-(-8)r)=2cdot16=32, 18l[,x,r]-2^2 =18(2-(-2))=18cdot4=72
Somando dá 32+72=104.

Resposta

O volume do sólido é 104 unidades cúbicas.

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