(2 pontos) O tempo de trabalho (em anos) dos 20 funcionários de uma certa empresa é apresentado abaixo.
1,3,3,3, raiz[3]3, 4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,10
a. Construa o box-plot e comente.
b. Suponha que um funcionário será sorteado, ao acaso, e receberá um prêmio de 1 mil reais para cada ano trabalhado.
c. Determine o valor esperado se a variável for o valor total do prêmio?

Passo 1

O enunciado dá os tempos de trabalho X (em anos) de 20 funcionários:
1,,3,,3,,3,,raiz[3]3,,4,,4,,4,,4,,4,,4,,5,,5,,5,,5,,6,,6,,6,,7,,10
Pede em (a) o box-plot com comentário, em (b) definir o prêmio caso seja sorteado um funcionário, e em (c) calcular o valor esperado desse prêmio. Vamos usar estatística descritiva (quartis, IQR, outliers) e expectativa de variável linear.

Passo 2

Ordenando os dados em ordem crescente, obtemos:
1,;raiz[3]3,;3,;3,;3,;4,;4,;4,;4,;4,;4,;5,;5,;5,;5,;6,;6,;6,;7,;10
Como são 20 valores, a mediana Q2 é a média dos 10.º e 11.º valores:
Q2 = x10+x112 = 4+42 = 4
O primeiro quartil Q1 é a mediana dos 10 primeiros valores, ou seja a média de x5 e x6:
Q1 = 3+42 = 3,5
O terceiro quartil Q3 é a mediana dos 10 últimos valores, média de x15 e x16:
Q3 = 5+62 = 5,5

Passo 3

Calculamos o intervalo interquartílico:
IQR = Q3 - Q1 = 5,5 - 3,5 = 2
As barreiras para outliers são
limite inferior = Q1 - 1,5,IQR = 3,5 - 3 = 0,5,
limite superior = Q3 + 1,5,IQR = 5,5 + 3 = 8,5
Como o menor valor é 1>0,5 não há outlier inferior, e o maior valor é 10>8,5, logo 10 é outlier superior. Assim o box-plot tem:
– mínimo não-outlier em 1;
– caixa de Q1=3,5 até Q3=5,5 com mediana em 4;
– whiskers indo de 1 até o maior valor <=8,5, que é 7;
– ponto isolado em 10.
Comentário: há um único outlier em 10 anos, mostrando leve assimetria à direita; a maior parte dos funcionários está entre 3,5 e 5,5 anos.

Passo 4

Seja Y o prêmio em reais que o funcionário sorteado recebe. Como ele ganha R$ 1000 por ano trabalhado, temos a relação linear
Y = 1000 cdot X
Como cada funcionário tem mesma probabilidade 120, a distribuição de Y é dada por
Pl(Y = 1000 cdot xir) = 120, i=1,dots,20

Passo 5

Para a expectativa vale E(Y)=1000,E(X). Primeiro
sumi=1^20 xi =1+raiz[3]3+3+3+3+4cdot6+5cdot4+6cdot3+7+10 =89+raiz[3]3approx90,442
Logo
E(X)=120sumi=1^20xi =89+raiz[3]320approx4,5221,
E(Y)=1000,E(X)approx1000times4,5221=4522,1

Resposta

(a) Box-plot com mínimo 1, Q1=3,5, mediana 4, Q3=5,5, whiskers de 1 a 7, e outlier em 10. O conjunto mostra leve assimetria à direita.
(b) Variável aleatória Y=1000,X, onde X é o tempo em anos.
(c) E(Y)=1000,E(X)=100089+raiz[3]320approx4522,1 reais.

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