(2,5 pontos) Responda, justificando:
Numa pesquisa de opiniäo sobre um projeto governamental, as respostas são do tipo concordo-não concordo. Se uma amostra de 500 pessoas é escolhida, e as respostas coletadas de modo independente, que dizer do número delas que concordam com o projeto?

Passo 1

O enunciado descreve uma amostra de n=500 pessoas cuja resposta é “concordo” ou “não concordo”, coletadas de forma independente. Esse é um caso clássico de variáveis de Bernoulli independentes, e o que se pede é caracterizar a distribuição do número de “concordo”.

Passo 2

Seja, para cada pessoa concorda,}\ 0, & se a pessoa não concorda. \end{cases}]
Como as respostas são independentes e cada é Bernoulli com parâmetro , o total de concordâncias
segue uma distribuição Binomial com parâmetros e .

Passo 3

Pelas propriedades da soma de Bernoullis, os parâmetros de X são
E(X)=np = 500,p,
Var(X)=np(1-p)=500,p(1-p)
Isto significa que, em média, esperamos 500p concordâncias, com dispersão dada por 500p(1-p).

Passo 4

Como n=500 é grande, pelo Teorema do Limite Central podemos aproximar
X approx Nl(500p,;500p(1-p)r)
Essa aproximação normal permite calcular facilmente probabilidades e intervalos de confiança para o número (ou proporção) de pessoas que concordam.

Resposta

O número de pessoas que concordam é
Xsim Binomial(n=500,;p),
com
E(X)=500p, Var(X)=500p(1-p),
e, para n=500, X é bem aproximado por
Nl(500p,;500p(1-p)r)

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