Seja
a região do plano limitada por
e
.
(a) Expresse
como uma regiāo do tipo I e também como uma regiāo do tipo II.
(b) Calcule a integral dupla
(a) Expresse
(b) Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral dupla. A região
é limitada pelas curvas
e
. A gente vai precisar saber como descrever essa região de duas maneiras diferentes (tipo I e tipo II) e depois calcular uma integral dupla sobre ela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria no plano e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
pode ser reescrita como
, que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Mas como temos
, isso significa que estamos considerando apenas a parte direita desse círculo (onde
).
Passo 3
Para expressar
como uma região do tipo I, temos que fixar
e encontrar os limites para
. Observando o círculo, para cada valor de
entre -1 e 1,
varia de 0 até
. Então, a região tipo I fica:
Passo 4
Agora, para expressar
como uma região do tipo II, fixamos
e encontramos os limites para
. Visto que
varia de 0 a 1 (porque
atinge seu máximo quando
), para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Assim, a região tipo II é:
Passo 5
Agora que temos a descrição da região
tanto como tipo I quanto tipo II, vamos calcular a integral dupla
. Vamos escolher a forma que for mais fácil para a integração. Vou optar pela região tipo I:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirá-lo da integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral dupla é
.