Seja D a região do plano limitada por x=0 e x=raiz1-y^2.
(a) Expresse D como uma regiāo do tipo I e também como uma regiāo do tipo II.
(b) Calcule a integral dupla
integral duplaD x y^2 d A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral dupla. A região D é limitada pelas curvas x = 0 e x = raiz1 - y^2 . A gente vai precisar saber como descrever essa região de duas maneiras diferentes (tipo I e tipo II) e depois calcular uma integral dupla sobre ela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria no plano e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D . A equação x = raiz1 - y^2 pode ser reescrita como x^2 + y^2 = 1 , que é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Mas como temos x = raiz1 - y^2 , isso significa que estamos considerando apenas a parte direita desse círculo (onde x >= 0 ).

Passo 3

Para expressar D como uma região do tipo I, temos que fixar y e encontrar os limites para x . Observando o círculo, para cada valor de y entre -1 e 1, x varia de 0 até raiz1 - y^2 . Então, a região tipo I fica:
D = (x, y) mid -1 <= y <= 1 e 0 <= x <= raiz1 - y^2

Passo 4

Agora, para expressar D como uma região do tipo II, fixamos x e encontramos os limites para y . Visto que x varia de 0 a 1 (porque raiz1 - y^2 atinge seu máximo quando y = 0 ), para cada x nesse intervalo, y varia de -raiz1 - x^2 até raiz1 - x^2 . Assim, a região tipo II é:
D = (x, y) mid 0 <= x <= 1 e -raiz1 - x^2 <= y <= raiz1 - x^2

Passo 5

Agora que temos a descrição da região D tanto como tipo I quanto tipo II, vamos calcular a integral dupla integral duplaD x y^2 , dA . Vamos escolher a forma que for mais fácil para a integração. Vou optar pela região tipo I:
integral duplaD x y^2 , dA = integraly=-1^1 integralx=0^raiz1 - y^2 x y^2 , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x :
integral0^raiz1 - y^2 x y^2 , dx
Aqui, y^2 é constante em relação a x , então podemos tirá-lo da integral:
y^2 integral0^raiz1 - y^2 x , dx = y^2 [ x^22 ]0^raiz1 - y^2 = y^2 ( (raiz1 - y^2)^22 - 0 ) = y^2 ( 1 - y^22 )
Simplificando:
y^2(1 - y^2)2

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral-1^1 y^2(1 - y^2)2 , dy = 12 integral-1^1 (y^2 - y^4) , dy

Passo 8

Vamos calcular a integral:
12 [ integral-1^1 y^2 , dy - integral-1^1 y^4 , dy ]
Calculando cada parte separadamente:
integral-1^1 y^2 , dy = [ y^33 ]-1^1 = ( 13 - (-1)^33 ) = 23
integral-1^1 y^4 , dy = [ y^55 ]-1^1 = ( 15 - (-1)^55 ) = 25

Passo 9

Substituindo de volta:
12 ( 23 - 25 ) = 12 ( 10 - 615 ) = 12 ( 415 ) = 215

Resposta

O valor da integral dupla é 215 .

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