Há mais de uma forma de representar um conjunto por propriedade.
E={x \in \mathbb{Z} \mid x \leq 3};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
E = x in Z mid x <= 3
e pede outras formas equivalentes de descrever esse mesmo conjunto. O conteúdo é representação de conjuntos em diversas notações: por propriedade (já dada), por extensão (listagem), por interseção de intervalos, forma paramétrica e por complemento.

Passo 2

Podemos usar a noção de intervalo em R e depois “pegar” só os inteiros. Assim
E = (-infty,3] cap Z
pois (-infty,3] são todos os reais até 3 e a interseção com Z retém apenas os inteiros.

Passo 3

Outra opção é listar explicitamente os elementos, isto é, usar descrição por extensão. Como são todos os inteiros menores ou iguais a 3, temos
E = dots,-2,-1,0,1,2,3

Passo 4

Podemos também dar uma forma paramétrica, gerando cada elemento a partir de um parâmetro natural. Seja nin N0 (naturais com zero), então
x = 3 - n
varre justamente todos os inteiros <= 3. Logo
E = ,3 - n mid n in N0

Passo 5

Por fim, utilizamos complemento em Z. O conjunto dos inteiros que não satisfazem x <= 3 é x in Zmid x>=4. Portanto
E = Z;setminus;xinZmid x>=4

Resposta

As cinco formas equivalentes são:
  1. Por propriedade (dada): xin Zmid x<=3
  2. Intervalo e interseção: (-infty,3]capZ
  3. Extensão (listagem): dots,-2,-1,0,1,2,3
  4. Forma paramétrica: ,3-nmid ninN0
  5. Complemento: ZsetminusxinZmid x>=4

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