Uma piscina cujo volume é de
contém água com
de cloro. Água contendo
de cloro entra na piscina a uma taxa de
. A água da piscina sai com a mesma vazão. Qual é a porcentagem de cloro após uma hora? Quando a água da piscina terá
de cloro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma piscina que guarda 37.874 litros de água com 0,01% de cloro. Água nova, com menos cloro (0,001%), está entrando na piscina e saindo ao mesmo tempo, tudo a uma taxa de 19 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir qual será a porcentagem de cloro na piscina após uma hora e quando essa porcentagem chegará a 0,002%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e equilíbrio de concentrações, aplicando equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A água com menos cloro está entrando, diluindo o cloro na piscina, enquanto a água da piscina está saindo com a concentração atual de cloro. Isso cria um equilíbrio dinâmico. Para modelar isso, podemos usar a seguinte equação:
Onde:
- $ C $ é a concentração de cloro na piscina ao longo do tempo.
- $ C_{entrada} $ é a concentração de cloro na água que entra (0,001%).
- $ C_{saída} $ é a concentração de cloro na água que sai, que é igual à concentração atual na piscina $ C $.
- A taxa de entrada e saída é 19 litros por minuto.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
- $ V = 37874 $ litros (volume da piscina, constante).
- $ Q = 19 $ litros/minuto (taxa de entrada e saída).
- $ C_0 = 0,01% $ (concentração inicial de cloro).
- $ C_{entrada} = 0,001% $.
A equação fica então:
Isso porque a concentração de saída é $ C $, então a variação é a diferença entre a concentração que entra e a que sai, multiplicada pela taxa de fluxo.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
Que tem solução:
No nosso caso, $ P(t) = \frac{Q}{V} $ e $ Q(t) = \frac{Q}{V} C_{entrada} $, ambos constantes.
Passo 5
Calculando a solução da equação diferencial:
Isso nos mostra que a concentração de cloro na piscina decresce exponencialmente em direção à concentração de entrada, com uma taxa determinada por $ \frac{Q}{V} $.
Passo 6
Vamos calcular $ \frac{Q}{V} $:
Esse valor representa a taxa de diluição do cloro na piscina por minuto.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a concentração de cloro após uma hora. Primeiro, convertemos uma hora para minutos:
Substituindo na equação:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando $ e^{-0,03012} \approx 0,9704 $:
Arredondando, cerca de 0,0097%.
Passo 8
Agora, queremos saber quando a concentração de cloro chegará a 0,002%. Usamos a mesma equação e resolvemos para $ t $:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 0,009%:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resolvendo para $ t $:
Convertendo para horas:
Resposta
Após uma hora, a porcentagem de cloro na piscina será aproximadamente 0,0097%. A água da piscina atingirá uma concentração de 0,002% de cloro após cerca de 73 horas.