Uma piscina cujo volume é de 37874 ell contém água com 0,01 % de cloro. Água contendo 0,001 % de cloro entra na piscina a uma taxa de 19 ell / min. A água da piscina sai com a mesma vazão. Qual é a porcentagem de cloro após uma hora? Quando a água da piscina terá 0,002 % de cloro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma piscina que guarda 37.874 litros de água com 0,01% de cloro. Água nova, com menos cloro (0,001%), está entrando na piscina e saindo ao mesmo tempo, tudo a uma taxa de 19 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir qual será a porcentagem de cloro na piscina após uma hora e quando essa porcentagem chegará a 0,002%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mistura e equilíbrio de concentrações, aplicando equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. A água com menos cloro está entrando, diluindo o cloro na piscina, enquanto a água da piscina está saindo com a concentração atual de cloro. Isso cria um equilíbrio dinâmico. Para modelar isso, podemos usar a seguinte equação:
dCdt = Taxa de entrada times Centrada - Taxa de saída times Csaída íí
Onde:
  • $ C $ é a concentração de cloro na piscina ao longo do tempo.
  • $ C_{entrada} $ é a concentração de cloro na água que entra (0,001%).
  • $ C_{saída} $ é a concentração de cloro na água que sai, que é igual à concentração atual na piscina $ C $.
  • A taxa de entrada e saída é 19 litros por minuto.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • $ V = 37874 $ litros (volume da piscina, constante).
  • $ Q = 19 $ litros/minuto (taxa de entrada e saída).
  • $ C_0 = 0,01% $ (concentração inicial de cloro).
  • $ C_{entrada} = 0,001% $.
A equação fica então:
V = 37874
Isso porque a concentração de saída é $ C $, então a variação é a diferença entre a concentração que entra e a que sai, multiplicada pela taxa de fluxo.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
dCdt + QV C = QV Centrada
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
dydt + P(t) y = Q(t)
Que tem solução:
y(t) = e^-integral P(t) dt ( integral e^integral P(t) dt Q(t) dt + C )
No nosso caso, $ P(t) = \frac{Q}{V} $ e $ Q(t) = \frac{Q}{V} C_{entrada} $, ambos constantes.

Passo 5

Calculando a solução da equação diferencial:
C(t) = Centrada + (C0 - Centrada) e^-QV t
Isso nos mostra que a concentração de cloro na piscina decresce exponencialmente em direção à concentração de entrada, com uma taxa determinada por $ \frac{Q}{V} $.

Passo 6

Vamos calcular $ \frac{Q}{V} $:
QV
Esse valor representa a taxa de diluição do cloro na piscina por minuto.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a concentração de cloro após uma hora. Primeiro, convertemos uma hora para minutos:
t = 60 , min
Substituindo na equação:
C(60) = 0,001% + (0,01% - 0,001%) e^-0,000502 times 60
Calculando o expoente:
-0,000502 times 60 approx -0,03012
Então:
C(60) = 0,001% + 0,009% times e^-0,03012
Calculando $ e^{-0,03012} \approx 0,9704 $:
e^-0,03012 approx 0,9704
Arredondando, cerca de 0,0097%.

Passo 8

Agora, queremos saber quando a concentração de cloro chegará a 0,002%. Usamos a mesma equação e resolvemos para $ t $:
t
Simplificando:
0,002% = 0,001% + (0,01% - 0,001%) e^-0,000502 t
Dividindo ambos os lados por 0,009%:
0,001% = 0,009% e^-0,000502 t
0,0010,009 = e^-0,000502 t
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
0,1111 = e^-0,000502 t
ln(0,1111) = -0,000502 t
Resolvendo para $ t $:
-2,1972 = -0,000502 t
Convertendo para horas:
t

Resposta

Após uma hora, a porcentagem de cloro na piscina será aproximadamente 0,0097%. A água da piscina atingirá uma concentração de 0,002% de cloro após cerca de 73 horas.

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