A meia-vida é uma medida da estabilidade de uma substância radioativa. A meia vida é simplesmente o tempo necessário para a metade dos átomos em uma quantidade inicial A0 desintegrar-se ou transformar-se em átomos de um outro elemento. Quanto maior for a meia-vida de uma substância, mais estável ele será. Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Depois de 15 anos determinou-se que 0,043 % da quantidade inicial A0 de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a meia-vida do plutônio-239, que é o tempo que leva para metade da quantidade inicial se desintegrar. A gente vai usar conceitos de decaimento radioativo, especificamente a regra de que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do decaimento exponencial e saber como relacionar a taxa de desintegração com a meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do decaimento radioativo:
A(t) = A0 cdot e^-kt
Aqui:
  • $ A(t) $ é a quantidade restante após o tempo $ t $,
  • $ A_0 $ é a quantidade inicial,
  • $ k $ é a constante de decaimento,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que após 15 anos, 0,043% da quantidade inicial $ A_0 $ se desintegrou. Isso significa que a quantidade restante $ A(15) $ é:
A0

Passo 4

Vamos substituir $ A(t) $ na fórmula do decaimento:
A(t)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
A0 cdot 0,99957 = A0 cdot e^-k cdot 15

Passo 5

Para encontrar $ k $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
k
Calculando o logaritmo:
ln(0,99957) = -15k

Passo 6

Agora, resolvemos para $ k $:
k

Passo 7

Sabemos que a meia-vida $ T_{1/2} $ está relacionada com $ k $ pela fórmula:
T1/2
Substituindo o valor de $ k $:
k

Passo 8

Calculando $ T_{1/2} $:
T1/2

Resposta

A meia-vida do plutônio-239 é aproximadamente 24.112 anos.

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