A meia-vida é uma medida da estabilidade de uma substância radioativa. A meia vida é simplesmente o tempo necessário para a metade dos átomos em uma quantidade inicial
desintegrar-se ou transformar-se em átomos de um outro elemento. Quanto maior for a meia-vida de uma substância, mais estável ele será. Um reator regenerador converte urânio 238 relativamente estável no isótopo plutônio 239. Depois de 15 anos determinou-se que
da quantidade inicial
de plutônio desintegrou-se. Ache a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração for proporcional à quantidade remanescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a meia-vida do plutônio-239, que é o tempo que leva para metade da quantidade inicial se desintegrar. A gente vai usar conceitos de decaimento radioativo, especificamente a regra de que a taxa de desintegração é proporcional à quantidade que resta. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do decaimento exponencial e saber como relacionar a taxa de desintegração com a meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do decaimento radioativo:
Aqui:
- $ A(t) $ é a quantidade restante após o tempo $ t $,
- $ A_0 $ é a quantidade inicial,
- $ k $ é a constante de decaimento,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Sabemos que após 15 anos, 0,043% da quantidade inicial $ A_0 $ se desintegrou. Isso significa que a quantidade restante $ A(15) $ é:
Passo 4
Vamos substituir $ A(t) $ na fórmula do decaimento:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ A_0 $:
Passo 5
Para encontrar $ k $, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o logaritmo:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ k $:
Passo 7
Sabemos que a meia-vida $ T_{1/2} $ está relacionada com $ k $ pela fórmula:
Substituindo o valor de $ k $:
Passo 8
Calculando $ T_{1/2} $:
Resposta
A meia-vida do plutônio-239 é aproximadamente 24.112 anos.