Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região E limitada pelos paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 16 - 3 x^2 - 3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa achar o volume da região que é limitada pelos paraboloides e . Primeiro, vamos entender que coordenadas cilíndricas são uma maneira de representar pontos no espaço usando raio , ângulo e altura . Vamos precisar transformar as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas e encontrar o intervalo de integração apropriado para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas. Lembrando que e , temos:
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde esses dois paraboloides se intersectam. Igualando as duas expressões para :
Resolvendo para :
Então, o raio varia de 0 a 2.

Passo 4

Com isso, sabemos que a altura em cada ponto vai de até . O volume pode ser calculado integrando em coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é .

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