Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região
limitada pelos paraboloides
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. A gente precisa achar o volume da região
que é limitada pelos paraboloides
e
. Primeiro, vamos entender que coordenadas cilíndricas são uma maneira de representar pontos no espaço usando raio
, ângulo
e altura
. Vamos precisar transformar as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas e encontrar o intervalo de integração apropriado para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dos paraboloides para coordenadas cilíndricas. Lembrando que
e
, temos:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde esses dois paraboloides se intersectam. Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Então, o raio varia de 0 a 2.
Passo 4
Com isso, sabemos que a altura
em cada ponto
vai de
até
. O volume pode ser calculado integrando em coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume da região
é
.