Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=(n-1n+1)^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an=l(n-1n+1r)^n
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. O tema aqui é limites de sequências do tipo “ (1+xn)^yn” com xnto 0 e yntoinfty.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a base num formato mais familiar:
n-1n+1 =1 - 2n+1
Então
an=l(1-2n+1r)^n

Passo 3

Para lidar com a potência n no expoente, fazemos a transformação logarítmica. Definimos
Ln = ln(an) = n ,lnl(1-2n+1r)

Passo 4

Como 2n+1to 0, usamos a expansão
ln(1+u)=u+o(u)quando uto0
Aqui u=-tfrac2n+1, então
lnl(1-tfrac2n+1r) =-tfrac2n+1+ol(tfrac1nr)
Multiplicando por n,
Ln = nl(-tfrac2n+1+o(tfrac1n)r) =-2nn+1+o(1) longrightarrow -2

Passo 5

Como ln(an)=Lnto -2, pela continuidade da exponencial temos
an = e^ln(an) longrightarrow e^-2
Logo a sequência converge.

Resposta

limntoinftyan=e^-2

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