(2,0) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x+6 y-2 z+15=0 e acima do retângulo R=(x, y) mid-1.

Passo 1

Estamos calculando o volume do sólido abaixo do plano 4x+6y-2z+15=0 e acima do retângulo R=(x,y)mid -1. O conteúdo é cálculo de volume por integral dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Isolamos z na equação do plano:
4x+6y-2z+15=0 implies -2z = -4x-6y-15 implies z = 2x+3y+tfrac152 Esse z=f(x,y) define a função altura sobre R.

Passo 3

Montamos a integral dupla para o volume:
V = integral duplaR f(x,y),dA = integralx=-1^2integraly=-1^1 l(2x+3y+tfrac152r) ,dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
integraly=-1^1 (2x+3y+tfrac152),dy = l[2x y + tfrac32y^2 + tfrac152yr]y=-1^1 = 4x +15

Passo 5

Calculamos a integral externa em x:
integralx=-1^2 (4x+15),dx = l[2x^2+15xr]x=-1^2 = (8+30) - (2 -15) = 38 -(-13) = 51 Assim obtemos o volume.

Resposta

51

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