Determine o volume do sólido que fica acima do parabolóide z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=16.
[
\left(V=64 \frac{\pi}{3}(2-\sqrt{(2)}) \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

Enunciado: queremos o volume do sólido limitado acima pelo parabolóide z = raizx^2 + y^2 e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16. Este problema é do tipo cálculo de volume via integrais triplas. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a simetria circular, determinando a região de integração e depois calculando a integral.

Passo 2

Para achar a região de projeção no plano xy, encontramos a curva de interseção entre as superfícies resolvendo z = r e r^2 + z^2 = 16. Substituindo z = r em r^2 + z^2 = 16 2r^2 = 16, logo r = 2raiz2 e z = 2raiz2.
Em coordenadas cilíndricas (r, theta, z), o volume é dado por
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^2raiz2 integralz=r^raiz16 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 3

Primeiro fazemos a integral em z:
integralz=r^raiz16 - r^2 r , dz = r l(raiz16 - r^2 - r r)
Agora calculamos a integral em r (multiplicada por 2pi depois de integrar theta):
V = 2pi integral0^2raiz2 l[rraiz16 - r^2 - r^2r] dr
Dividimos em duas partes:
  1. integral0^2raiz2 rraiz16 - r^2,dr usando u = 16 - r^2.
  2. integral0^2raiz2 r^2,dr.
    Após calcular cada uma e simplificar, obtemos a expressão para a integral em r igual a tfrac32(2 - raiz2)3.

Passo 4

Multiplicando o resultado da integral radial por 2pi, concluímos a expressão final para o volume do sólido.

Resposta

V = 64pi3l(2 - raiz2r),m^3

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