Determine o volume do sólido que fica acima do parabolóide
e abaixo da esfera
.
[
\left(V=64 \frac{\pi}{3}(2-\sqrt{(2)}) \mathrm{m}^{3}\right)
\left(V=64 \frac{\pi}{3}(2-\sqrt{(2)}) \mathrm{m}^{3}\right)
Passo 1
Enunciado: queremos o volume do sólido limitado acima pelo parabolóide
e abaixo da esfera
. Este problema é do tipo cálculo de volume via integrais triplas. Vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a simetria circular, determinando a região de integração e depois calculando a integral.
Passo 2
Para achar a região de projeção no plano
, encontramos a curva de interseção entre as superfícies resolvendo
e
. Substituindo
em
dá
, logo
e
.
Em coordenadas cilíndricas , o volume é dado por
Em coordenadas cilíndricas
Passo 3
Primeiro fazemos a integral em
:
Agora calculamos a integral em
(multiplicada por
depois de integrar
):
Dividimos em duas partes:
-
usando . -
.
Após calcular cada uma e simplificar, obtemos a expressão para a integral emigual a .
Passo 4
Multiplicando o resultado da integral radial por
, concluímos a expressão final para o volume do sólido.