(2,5) Use o teste da razão para mostrar a convergência da série
sumn=1^+infty 2 n^nn!

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos usar o Teste da Razão para mostrar a convergência da série:
sumn=1^+infty 2 n^nn!
O Teste da Razão é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge, usando o limite das razões entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 2 n^nn!
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual conforme n tende ao infinito.

Passo 3

Calculamos a razão an+1an :
an+1an = 2 (n+1)^n+1(n+1)!2 n^nn! = (n+1)^n+1(n+1)! times n!n^n = (n+1)^nn^n
Isso simplifica para:
(1 + 1n)^n

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite desse termo conforme n tende ao infinito:
limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2,718
Onde e é a base dos logaritmos naturais, um número irracional aproximadamente igual a 2,718.

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se o limite for maior que 1, a série diverge.
  • Se o limite for igual a 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é e , que é maior que 1.

Resposta

A série sumn=1^+infty 2 n^nn! diverge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é e > 1 .

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