Use o teste da razão para mostrar a convergência da série
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos usar o Teste da Razão para mostrar a convergência da série:
O Teste da Razão é uma ferramenta da matemática que ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge, usando o limite das razões entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Para aplicar o Teste da Razão, precisamos calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual conforme
tende ao infinito.
Passo 3
Calculamos a razão
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite desse termo conforme
tende ao infinito:
Onde
é a base dos logaritmos naturais, um número irracional aproximadamente igual a 2,718.
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão:
- Se o limite for menor que 1, a série converge.
- Se o limite for maior que 1, a série diverge.
- Se o limite for igual a 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o limite é
, que é maior que 1.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é
.