A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y=18 x^3 e y=2 x gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação. [Resposta: V=51215 pi ].

Passo 1

O enunciado nos dá a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = 18x^3
e
y = 2x
e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Esboço da região e do sólido:
Na reta de posições x=constante dentro da região, ao girar em torno do eixo y cada linha vertical gera uma casca cilíndrica de raio x e altura igual à diferença entre as curvas. No plano xy, desenhe os eixos, a curva y = 2x e a curva y = tfrac18 x^3, marcando as interseções em (0,0) e (4,8). Sombreie a região entre as duas curvas.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
18x^3 = 2x
Como x=0 ou xneq0, dividindo por x temos
18x^2 = 2 Longrightarrow x^2 = 16 Longrightarrow x=4
(nos interessa x>0). Logo elas se cruzam em x=0 e x=4.

Passo 4

Configurar o volume pelo método das cascas cilíndricas:
  • Raio da casca: x.
  • Altura da casca:
l(topor) - l(fundor) = 2x - 18x^3
  • Espessura: dx.
    Assim, o volume é
V = integralx=0^4 2pi ,(raio),(a<ura),dx = 2pi integral0^4 xl(2x - tfrac18x^3r),dx

Passo 5

Calcular a integral:
2pi integral0^4l(2x^2 - tfrac18x^4r),dx =2pigl[integral0^42x^2,dx ;-;integral0^4x^48,dxgr]
Calculando cada parte:
integral0^42x^2,dx = 2cdotx^33|0^4 = 2cdot643 = 1283,
integral0^4x^48,dx = 18cdotx^55|0^4 = 18cdot10245 = 1285
Logo
V = 2pil(tfrac1283 - tfrac1285r) =2picdot128(5-3)15 =2picdot25615 =51215,pi

Resposta

V = 51215,pi

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