A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de
e
gira em torno do eixo
. Determine o volume do sólido resultante. Faça um esboço da região e do sólido obtido na rotação. [Resposta:
].
Passo 1
O enunciado nos dá a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
e pede o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo
. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Esboço da região e do sólido:
Na reta de posições
dentro da região, ao girar em torno do eixo
cada linha vertical gera uma casca cilíndrica de raio
e altura igual à diferença entre as curvas. No plano
, desenhe os eixos, a curva
e a curva
, marcando as interseções em
e
. Sombreie a região entre as duas curvas.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
Como
ou
, dividindo por
temos
(nos interessa
). Logo elas se cruzam em
e
.
Passo 4
Configurar o volume pelo método das cascas cilíndricas:
- Raio da casca:
. - Altura da casca:
- Espessura:
.
Assim, o volume é
Passo 5
Calcular a integral:
Calculando cada parte:
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