(2) Use os parâmetros varphi e theta das coordenadas esféricas e parametrize o que é solicitado em cada item. Usando o GeoGebra (ou outro software que você preferir), plote a superfícies solicitadas. ATENÇÃO: a determinação dos intervalos de variação dos parâmetros varphi e theta é essencial para parametrizar as porções abaixo indicadas.
(b) A porção superior cortada da esfera x^2+y^2+z^2=8 pelo plano z=-2.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da porção da esfera
x^2+y^2+z^2=8
que fica acima do plano
z=-2
Vamos usar coordenadas esféricas (rho,varphi,theta) para descrever essa superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as fórmulas de conversão
x=rho,sinvarphicostheta, y=rho,sinvarphisintheta, z=rho,cosvarphi
Como estamos na superfície da esfera, rho é constante.

Passo 3

Da equação da esfera x^2+y^2+z^2=8 segue
rho=raiz8=2raiz2

Passo 4

A condição de ficar acima do plano z=-2 é
z>= -2Longrightarrow rhocosvarphi>= -2 Longrightarrow cosvarphi>= -22raiz2=-1raiz2

Passo 5

Resolvendo cosvarphi>= -1/raiz2 em varphiin[0,pi] temos
0<=varphi<=arccosl(-1raiz2r) = 3pi4
E theta varia naturalmente de 0 a 2pi.

Resposta

A parametrização da porção superior da esfera cortada pelo plano z=-2 é
r(varphi,theta) =l(2raiz2,sinvarphicostheta,;2raiz2,sinvarphisintheta,;2raiz2,cosvarphir)
com
varphiin[0,tfrac3pi4] e thetain[0,2pi].

Exercícios relacionados