Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
, eixo-
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva superior é
. - A curva inferior é
(eixo ). - As retas verticais que limitam em
são (à esquerda) e (à direita). - O eixo de rotação é o eixo
.
Passo 2
Método escolhido: método dos discos (ou fatias). Explicação didática: quando um plano perpendicular ao eixo de rotação corta o sólido, a seção transversal é um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo. A área desse círculo numa posição
é
O volume é obtido somando (integrando) essas áreas ao longo do intervalo em
:
Observação rápida: poderíamos usar o método dos casquilhos (washers) se houvesse um buraco central; aqui não há, porque a região vai de
até
, então temos discos sólidos.
Passo 3
Identificação do raio do disco: a distância do eixo
(onde
) até a curva é simplesmente o valor de
. Logo
porque para cada
entre
e
a função dá a altura da região acima do eixo
.
Passo 4
Área da seção transversal em
:
Expliquei: elevamos ao quadrado
e obtemos
porque
.
Passo 5
Montagem da integral do volume usando os limites em
(de
até
):
Aqui o fator
é constante e pode sair da integral.
Passo 6
Cálculo da antiderivada de
. Lembrete: a derivada de
é
. Portanto, para integrar
dividimos por
:
Explicação simples: se
, então
.
Passo 7
Avaliação da integral definida:
Calculei as potências no expoente:
Logo
Podemos também escrever de forma factorizada:
que é a mesma coisa e deixa explícito que
(já que
).