Determine o volume do solido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos, em torno do eixo indicado.
y=e^{4 x}, \quad y=0, x=-2, x=-3, eixo- x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=e^{4x}, y=0, x=-2 e x=-3 em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • A curva superior é y=e^{4x}.
  • A curva inferior é y=0 (eixo x).
  • As retas verticais que limitam em x são x=-3 (à esquerda) e x=-2 (à direita).
  • O eixo de rotação é o eixo x.

Passo 2

Método escolhido: método dos discos (ou fatias). Explicação didática: quando um plano perpendicular ao eixo de rotação corta o sólido, a seção transversal é um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo. A área desse círculo numa posição x é
A(x)=\pi\big(\text{raio}(x)\big)^{2}.
O volume é obtido somando (integrando) essas áreas ao longo do intervalo em x:
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx.
Observação rápida: poderíamos usar o método dos casquilhos (washers) se houvesse um buraco central; aqui não há, porque a região vai de y=0 até y=e^{4x}, então temos discos sólidos.

Passo 3

Identificação do raio do disco: a distância do eixo x (onde y=0) até a curva é simplesmente o valor de y. Logo
\text{raio}(x)=e^{4x},
porque para cada x entre -3 e -2 a função dá a altura da região acima do eixo x.

Passo 4

Área da seção transversal em x:
A(x)=\pi\big(e^{4x}\big)^{2}=\pi e^{8x}.
Expliquei: elevamos ao quadrado e^{4x} e obtemos e^{8x} porque \big(e^{4x}\big)^{2}=e^{4x\cdot 2}=e^{8x}.

Passo 5

Montagem da integral do volume usando os limites em x (de -3 até -2):
V=\int_{-3}^{-2} A(x)\,dx=\pi\int_{-3}^{-2} e^{8x}\,dx.
Aqui o fator \pi é constante e pode sair da integral.

Passo 6

Cálculo da antiderivada de e^{8x}. Lembrete: a derivada de e^{8x} é 8e^{8x}. Portanto, para integrar e^{8x} dividimos por 8:
\int e^{8x}\,dx=\frac{1}{8}e^{8x}+C.
Explicação simples: se F(x)=\frac{1}{8}e^{8x}, então F'(x)=\frac{1}{8}\cdot 8 e^{8x}=e^{8x}.

Passo 7

Avaliação da integral definida:
V=\pi\left[\frac{1}{8}e^{8x}\right]_{x=-3}^{x=-2}=\frac{\pi}{8}\big(e^{8(-2)}-e^{8(-3)}\big).
Calculei as potências no expoente:
e^{8(-2)}=e^{-16},\qquad e^{8(-3)}=e^{-24}.
Logo
V=\frac{\pi}{8}\big(e^{-16}-e^{-24}\big).
Podemos também escrever de forma factorizada:
V=\frac{\pi}{8}e^{-24}\big(e^{8}-1\big),
que é a mesma coisa e deixa explícito que V>0 (já que e^{8}>1).

Resposta

V=\frac{\pi}{8}\big(e^{-16}-e^{-24}\big)

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