Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
{ }^{a} Questão. (35 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=-2 x+y \\\ y^{\prime}(t)=-5 x+4 y \end{array}
com condições iniciais x(0)=1 e $y(0)=3.

Passo 1

Resumindo, temos um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes:
\begin{cases} x'(t) = -2\,x(t) + y(t),\\\ y'(t) = -5\,x(t) + 4\,y(t), \end{cases}
e as condições iniciais x(0)=1, y(0)=3. O método a usar é decompor em autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial \mathbf{u}' = A\,\mathbf{u}, onde
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}-2 & 1\\\ -5 & 4\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\\ -5 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (-2-\lambda)(4-\lambda) - (1)(-5) = \lambda^2 -2\lambda -3.
Resolvendo \lambda^2 -2\lambda -3=0 achamos
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 3

Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)\mathbf{v}=0:
(A-3I)=\begin{pmatrix}-5 & 1\\\\ -5 & 1\end{pmatrix} \implies -5\,v_1 + v_2 = 0 \implies v_2 = 5\,v_1.
Escolhendo v_1=1, um autovetor é \mathbf{v}_1=(1,5).
Para \lambda_2=-1, resolvemos (A+I)\mathbf{v}=0:
(A+I)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\\\ -5 & 5\end{pmatrix} \implies -v_1 + v_2 = 0 \implies v_2 = v_1.
Escolhendo v_1=1, um autovetor é \mathbf{v}_2=(1,1).

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais:
\mathbf{u}(t) = C_1\,e^{3t}\begin{pmatrix}1\\\ 5\end{pmatrix} + C_2\,e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
ou seja
x(t) = C_1\,e^{3t} + C_2\,e^{-t}, \quad y(t) = 5\,C_1\,e^{3t} + C_2\,e^{-t}.

Passo 5

Impondo as condições iniciais em t=0\): \[\begin{cases} x(0) = C_1 + C_2 = 1,\\\ y(0) = 5\,C_1 + C_2 = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(5\,C_1 + C_2) - (C_1 + C_2) = 3 - 1 \implies 4\,C_1 = 2 \implies C_1 = \tfrac12.
Então (C_2 = 1 - C_1 = \tfrac12].

Passo 6

Substituindo C_1 = \tfrac12 e C_2 = \tfrac12 na solução geral, obtemos
x(t) = \tfrac12\,e^{3t} + \tfrac12\,e^{-t}, \quad y(t) = \tfrac{5}{2}\,e^{3t} + \tfrac12\,e^{-t}.

Resposta

x(t) = \frac{1}{2}e^{3t} + \frac{1}{2}e^{-t}, \quad y(t) = \frac{5}{2}e^{3t} + \frac{1}{2}e^{-t}.

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