Resolva as questões colocando todas as passagens e todos os detalhes.
Questão. (35 pontos) Determine a solução do seguinte sistema:
com condições iniciais
e $y(0)=3.
Passo 1
Resumindo, temos um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes:
e as condições iniciais
,
. O método a usar é decompor em autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial
, onde
O polinômio característico é
Resolvendo
achamos
Passo 3
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
, um autovetor é
.
Para
, resolvemos
:
Escolhendo
, um autovetor é
.
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções exponenciais:
ou seja
Passo 5
Impondo as condições iniciais em
Subtraindo a primeira da segunda:
Então (C_2 = 1 - C_1 = \tfrac12].
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos