Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide
pelo plano
, utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. O conteúdo é cálculo de volume via integração tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar: determinar a projeção no plano
, converter para coordenadas cilíndricas (com Jacobiano
) e avaliar as integrais iteradas.
Passo 2
A projeção do sólido no plano
vem da intersecção
que em coordenadas cilíndricas (
,
) vira
Logo a região projetada é o disco
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas temos
e a superfície superior é
. Assim
Passo 4
Calculemos a integral em
:
Passo 5
Agora a integral em
:
Passo 6
Finalmente, integramos em
: