Determine o volume do sólido limitado pelo parabolóide z=9-x^2-y^2 e pelo plano x y, utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide ,z=9-x^2-y^2 e pelo plano ,z=0. O conteúdo é cálculo de volume via integração tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar: determinar a projeção no plano xy, converter para coordenadas cilíndricas (com Jacobiano r) e avaliar as integrais iteradas.

Passo 2

A projeção do sólido no plano z=0 vem da intersecção
0 = 9 - x^2 - y^2,
que em coordenadas cilíndricas ( x=rcostheta, y=rsintheta) vira
r^2 = 9
Logo a região projetada é o disco
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos dV = r,dz,dr,dtheta e a superfície superior é z=9 - r^2. Assim
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^3integralz=0^9-r^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos a integral em z:
integralz=0^9-r^2 r,dz = rl[zr]0^9-r^2 = r(9 - r^2)

Passo 5

Agora a integral em r:
integralr=0^3r(9 - r^2),dr = integral0^3(9r - r^3),dr = l[tfrac9r^22 - tfracr^44r]0^3 = tfrac812 - tfrac814 = tfrac814

Passo 6

Finalmente, integramos em theta:
V = integral0^2pi814,dtheta = 814times 2pi = 81pi2

Resposta

V = 81pi2

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