Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=x^x^2+y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) e f(0,0)=1

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^x^2+y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&(x,y)=(0,0),
e pede para discutir a continuidade de f. Vamos usar o conceito de continuidade em pontos interiores do domínio e em (0,0), além de explorar limites via coordenadas polares.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2neq0, de modo que o quociente
dfracx^,x^2+y^2x^2+y^2
é formado por funções contínuas (a potência xmapsto x^u para x>0 e u fixo real é contínua, e x^2+y^2 não se anula). Logo, f é contínua em todo ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2neq0.

Passo 3

Para estudar o ponto (0,0), mudamos para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r>0
Então, para (x,y)neq(0,0),
f(r,theta) =(rcostheta)^,r^2r^2 =expl(r^2ln(rcostheta)r)r^2

Passo 4

Analisamos o numerador quando rto0^+. Como
r^2ln(rcostheta) =r^2ln r + r^2ln(costheta),
e r^2ln rto0, r^2ln(costheta)to0, temos
expl(r^2ln(rcostheta)r)longrightarrow exp(0)=1
Portanto, para r pequeno
f(r,theta) approx1r^2,
e assim
f(r,theta)to+infty quando rto0^+

Passo 5

Como o valor de f(x,y) tende a +infty ao nos aproximarmos de (0,0), não existe limite finito igual a f(0,0)=1. Logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em todo ponto (x,y) com x^2+y^2neq0 e é descontínua em (0,0).

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