Discuta a continuidade das funções a seguir.
f(x, y)=x^2-y^2x-y, se x neq y e f(x, x)=1

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos discutir a continuidade de . Lembrando que é contínua em se

Passo 2

Para (x,y) tal que xneq y, podemos simplificar
x^2-y^2x-y =(x-y)(x+y)x-y =x+y
Logo, fora da reta x=y, f(x,y)=x+y, que é uma função polinomial em x,y e portanto contínua em qualquer ponto com xneq y.

Passo 3

Agora examinamos o comportamento de f ao nos aproximarmos da reta x=y. Se (x,y)to(a,a) por pontos com xneq y, temos
lim(x,y)to(a,a)f(x,y) =lim(x,y)to(a,a)(x+y) =2a

Passo 4

Para que f seja contínua em (a,a), é preciso que o limite valha o mesmo que o valor definido em f(a,a), ou seja
2a = f(a,a) = 1 Longrightarrow a = tfrac12
Portanto f só é contínua na reta x=y no ponto l(tfrac12,tfrac12r); em todo outro ponto (a,a) com aneqtfrac12 ela falha a continuidade.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2 com xneq y e, na reta x=y, é contínua apenas no ponto l(tfrac12,tfrac12r). Nos demais pontos da reta x=y ocorre descontinuidade.

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