Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral-1^2 integralx^2^x+2 d y d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver:
integral-1^2 integralx^2^x+2 dy , dx
Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como esboçar a região de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos que x varia de -1 a 2, e para cada x, y varia de x^2 até x + 2.
Vamos desenhar os gráficos das curvas y = x^2 e y = x + 2 no mesmo sistema de coordenadas.

Passo 3

A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, e y = x + 2 é uma reta. Encontramos os pontos de interseção resolvendo x^2 = x + 2:
x^2 - x - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática, temos:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, x = 2 e x = -1. Isso confirma que os limites de integração estão corretos.

Passo 4

Agora que temos a região de integração, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integralx^2^x+2 dy = y |x^2^x+2 = (x + 2) - (x^2) = -x^2 + x + 2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^2 (-x^2 + x + 2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx + integral x , dx + integral 2 , dx

Passo 6

Calculamos cada uma das integrais:
-integral x^2 , dx = -x^33
integral x , dx = x^22
integral 2 , dx = 2x
Então, a antiderivada completa é:
-x^33 + x^22 + 2x

Passo 7

Agora, avaliamos a antiderivada de x = -1 até x = 2:
( -(2)^33 + (2)^22 + 2(2) ) - ( -(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1) )
Calculando cada parte:
Para x = 2:
-83 + 42 + 4 = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103
Para x = -1:
--13 + 12 - 2 = 13 + 12 - 2 = 56 - 2 = -76

Resposta

A integral vale:
103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92
Portanto, o valor final da integral é 92.

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