Esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para resolver:
Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas em cálculo integral. Para resolver, vamos precisar entender como esboçar a região de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos que x varia de -1 a 2, e para cada x, y varia de até .
Vamos desenhar os gráficos das curvas e no mesmo sistema de coordenadas.
Passo 3
A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma reta. Encontramos os pontos de interseção resolvendo :
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Então, e . Isso confirma que os limites de integração estão corretos.
Passo 4
Agora que temos a região de integração, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-1^2 (-x^2 + x + 2) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) , dx + integral x , dx + integral 2 , dx
Passo 6
Calculamos cada uma das integrais:
-integral x^2 , dx = -x^33
integral x , dx = x^22
integral 2 , dx = 2x
Então, a antiderivada completa é:
-x^33 + x^22 + 2x
Passo 7
Agora, avaliamos a antiderivada de x = -1 até x = 2: