Utilizando a definição de derivada parcial calcule f_{x}(x, y) onde
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{3 x+y}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{3x+y}}
e pede a derivada parcial de f em relação a x. Vamos usar a definição
f_x(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
e, para calcular esse limite, aplicaremos a técnica de racionalização de diferença de radicais.

Passo 2

Escrevendo o quociente de diferença com a definição, temos
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =\frac{\frac{1}{\sqrt{3(x+h)+y}}-\frac{1}{\sqrt{3x+y}}}{h}.

Passo 3

Para racionalizar o numerador, colocamos em única fração e multiplicamos pelo conjugado:
\frac{1}{\sqrt{3(x+h)+y}}-\frac{1}{\sqrt{3x+y}} =\frac{\sqrt{3x+y}-\sqrt{3(x+h)+y}}{\sqrt{3(x+h)+y}\,\sqrt{3x+y}}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y} resulta em
\frac{(\sqrt{3x+y}-\sqrt{3(x+h)+y})(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y})} {h\,\sqrt{3(x+h)+y}\,\sqrt{3x+y}\,(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y})} =\frac{(3x+y)-(3(x+h)+y)}{h\,\sqrt{3(x+h)+y}\,\sqrt{3x+y}\,(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y})}.
O numerador fica -3h, então
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =-\frac{3h}{h\,\sqrt{3(x+h)+y}\,\sqrt{3x+y}\,(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y})} =-\frac{3}{\sqrt{3(x+h)+y}\,\sqrt{3x+y}\,(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3(x+h)+y})}.

Passo 4

Fazendo h\to0 em cada raiz, \sqrt{3(x+h)+y}\to\sqrt{3x+y}. Logo
f_x(x,y) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =-\frac{3}{\sqrt{3x+y}\,\sqrt{3x+y}\,(\sqrt{3x+y}+\sqrt{3x+y})} =-\frac{3}{(3x+y)\,2\sqrt{3x+y}} =-\frac{3}{2\,(3x+y)^{3/2}}.

Resposta

f_{x}(x,y)=-\frac{3}{2\,(3x+y)^{3/2}}.

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