Exercício 14. (Apostol seção 2.12 exercício 2) Seja R^n com a base canônica. Determine a matriz de cada uma das transformações lineares:
T: R^5 R^3 dado por T(x, y, z, w, v)=(y, z, w).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon R^5toR^3 definida por
T(x,y,z,w,v) = (y,z,w)
O conteúdo aqui é representação matricial de transformação linear na base canônica, ou seja, basta calcular T em cada vetor da base padrão de R^5 e usar esses vetores como colunas da matriz.

Passo 2

Lembrando que na base canônica e1,e2,e3,e4,e5 de R^5, a coluna j da matriz de T é T(ej) expressa em coordenadas na base canônica de R^3.

Passo 3

Calculamos as imagens dos vetores da base de R^5:
T(e1)=T(1,0,0,0,0)=(0,0,0), T(e2)=T(0,1,0,0,0)=(1,0,0),
T(e3)=T(0,0,1,0,0)=(0,1,0), T(e4)=T(0,0,0,1,0)=(0,0,1),
T(e5)=T(0,0,0,0,1)=(0,0,0)

Passo 4

Montamos a matriz M colocando essas imagens como colunas na ordem e1,dots,e5:
M = l[T(e1);T(e2);T(e3);T(e4);T(e5)r] = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0

Resposta

0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0

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