Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies x^2+y^2=16 e z=4 x para x >= 0. (Resp. 512/3.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície z=4x e está dentro do cilindro x^2+y^2=16 com a restrição x>=0. O conteúdo usado é cálculo de volume via integral dupla sobre a projeção no plano xy.

Passo 2

Chamamos de D a região no plano xy dada por
D = (x,y)mid x^2+y^2<=16,;x>=0
O volume V do sólido é
V = integral duplaD 4x,dA,
pois em cada ponto (x,y) o sólido “vale” z=4x.

Passo 3

Para facilitar, vamos ao sistema polar:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Em polos, D vira
0<= r<=4, -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,
e 4x = 4rcostheta. Logo
V = integral-tfracpi2^tfracpi2integral0^44rcostheta;l(r,dr,dthetar) =integral-tfracpi2^tfracpi2integral0^44r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Separamos a integral em r e em theta:
integral0^4r^2,dr = 4^33 = 643,
integral-tfracpi2^tfracpi2costheta,dtheta = l[sinthetar]-tfracpi2^tfracpi2 = 2
Portanto
V = 4 times 643 times 2 = 5123

Resposta

5123

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