Encontre a derivada das funções a seguir.
f(x)=raiz1-x^22^x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = raiz1 - x^22^x
Aqui vamos usar regra do produto (escrevendo f como (1 - x^2)^1/2cdot 2^-x) e, em seguida, regra da cadeia para cada fator.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = (1 - x^2)^1/2,cdot,2^-x
Assim podemos aplicar a fórmula
l(ucdot vr)' = u',v + u,v',
onde u(x) = (1 - x^2)^1/2 e v(x) = 2^-x.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando regra da cadeia em
;u(x) = (1 - x^2)^1/2.
Temos
u'(x) = tfrac12,(1 - x^2)^-1/2,cdot(-2x) = -xraiz1 - x^2

Passo 4

Agora calculamos v'(x) sabendo que
;v(x)=2^-x=e^-xln2.
Logo
v'(x) = 2^-x,cdot(-ln2) = -(ln2),2^-x

Passo 5

Aplicando regra do produto:
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = l(-xraiz1 - x^2r),2^-x + raiz1 - x^2;l(-ln2r),2^-x

Passo 6

Fatorando 2^-x e o sinal negativo:
f'(x) = -,2^-x![xraiz1 - x^2 + raiz1 - x^2;ln2]
Opcionalmente, colocando num único denominador raiz1-x^2:
f'(x) = -2^-xraiz1 - x^2,l[x + (1 - x^2),ln2r]

Resposta

f'(x) = -,2^-x!gl[xraiz1 - x^2 + raiz1 - x^2,ln2gr]
ou equivalentemente
f'(x) = -2^-xraiz1 - x^2,l[x + (1 - x^2),ln2r]

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