Find the volume of the largest rectangular box in the first octant with three faces in the coordinate planes and one vertex in the plane x+2 y+3 z=6.

Passo 1

O enunciado pede o maior volume de uma caixa retangular no primeiro octante cujas três faces coincidem com os planos coordenados e cujo vértice oposto à origem está na reta definida por
x + 2y + 3z = 6.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição, para o qual usaremos multiplicadores de Lagrange. A função a maximizar é
V(x,y,z) = x\,y\,z
sujeita à restrição
g(x,y,z) = x + 2y + 3z - 6 = 0.

Passo 2

Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: definimos
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = x\,y\,z \;-\;\lambda\bigl(x + 2y + 3z - 6\bigr).
As condições de otimalidade são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y\,z \;-\;\lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x\,z \;-\;2\lambda = 0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = x\,y \;-\;3\lambda = 0,
além de
x + 2y + 3z = 6.

Passo 3

Das três primeiras equações temos
y\,z = \lambda, \quad x\,z = 2\lambda, \quad x\,y = 3\lambda.
Dividindo a segunda pela primeira vem
\frac{x\,z}{y\,z} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2y,
e dividindo a terceira pela primeira vem
\frac{x\,y}{y\,z} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{z} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3z.

Passo 4

Igualando as duas expressões para x, obtemos
2y = 3z \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{2}{3}\,y.
Substituindo x=2y e z=\tfrac{2}{3}y na restrição
x + 2y + 3z = 2y + 2y + 3\!\bigl(\tfrac{2}{3}y\bigr) = 2y + 2y + 2y = 6y = 6
resulta em
y = 1.
Logo
x = 2\cdot1 = 2, \quad z = \tfrac{2}{3}\cdot1 = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

O volume máximo fica
V_{\max} = x\,y\,z = 2 \times 1 \times \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3}.

Resposta

O volume da maior caixa possível é \displaystyle \tfrac{4}{3}.

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