Find the volume of the largest rectangular box in the first octant with three faces in the coordinate planes and one vertex in the plane
.
Passo 1
O enunciado pede o maior volume de uma caixa retangular no primeiro octante cujas três faces coincidem com os planos coordenados e cujo vértice oposto à origem está na reta definida por
O conteúdo envolvido é otimização com restrição, para o qual usaremos multiplicadores de Lagrange. A função a maximizar é
sujeita à restrição
Passo 2
Aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: definimos
As condições de otimalidade são
além de
Passo 3
Das três primeiras equações temos
Dividindo a segunda pela primeira vem
e dividindo a terceira pela primeira vem
Passo 4
Igualando as duas expressões para
, obtemos
Substituindo
e
na restrição
resulta em
Logo
Passo 5
O volume máximo fica
Resposta
O volume da maior caixa possível é
.