Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
f(x)=x-1x^2-4

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico da função racional f(x)=x-1x^2-4 e encontrar suas assíntotas. O conteúdo envolve estudo de funções racionais: domínio, assíntotas verticais e horizontais, interceptos, análise de sinais e limites.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador se anula quando x^2-4=0, ou seja, x=2 e x=-2. Essas retas são assíntotas verticais.

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal. Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), a assíntota horizontal é y=0.

Passo 4

Calcular interceptos. Para o intercepto em x, basta resolver x-1=0, obtendo x=1 e f(1)=0. Para o intercepto em y, avalia-se f(0)=0-10-4=-1-4=tfrac14.

Passo 5

Analisar o sinal de f(x) em cada intervalo definido pelas assíntotas:
-infty,-2: numerador negativo, denominador positivo → f<0,
-2,2: numerador é negativo se x<1 (até x=1), e denominador negativo → f>0 em -2,1, depois para 1,2 numerador positivo, denominador negativo → f<0,
(2,infty): numerador e denominador positivos → f>0.

Passo 6

Estudar limites junto às assíntotas verticais para definir o comportamento dos ramos:
limxto2^-f(x)=-infty, limxto2^+f(x)=+infty,
limxto-2^-f(x)=-infty, limxto-2^+f(x)=+infty.

Passo 7

Com todas essas informações (assíntotas, interceptos, sinais e limites) podemos esboçar quatro ramos do gráfico aproximando-se de x=-2, x=2 e de y=0 nas direções certas.

Resposta

As assíntotas são:
Vertical: x=-2 e x=2
Horizontal: y=0

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