Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem.
Passo 1
A questão pede para esboçar o gráfico da função racional
e encontrar suas assíntotas. O conteúdo envolve estudo de funções racionais: domínio, assíntotas verticais e horizontais, interceptos, análise de sinais e limites.
Passo 2
Determinar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador se anula quando
, ou seja,
e
. Essas retas são assíntotas verticais.
Passo 3
Determinar a assíntota horizontal. Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Calcular interceptos. Para o intercepto em
, basta resolver
, obtendo
e
. Para o intercepto em
, avalia-se
.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo definido pelas assíntotas:
: numerador negativo, denominador positivo →
,
: numerador é negativo se
(até
), e denominador negativo →
em
, depois para
numerador positivo, denominador negativo →
,
: numerador e denominador positivos →
.
Passo 6
Estudar limites junto às assíntotas verticais para definir o comportamento dos ramos:
,
,
,
.
Passo 7
Com todas essas informações (assíntotas, interceptos, sinais e limites) podemos esboçar quatro ramos do gráfico aproximando-se de
,
e de
nas direções certas.
Resposta
As assíntotas são:
Vertical:
e
Horizontal: