Diga se converge, absolutamente ou condicionalmente, a série
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a série
em termos de convergência (absoluta ou condicional). O conteúdo que vamos usar é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação com séries -séries para a convergência absoluta.
Passo 2
Defina
Para aplicar o critério de Leibniz precisamos que seja decrescente e .
Como a função é decrescente e é crescente em , segue que é decrescente para .
Como e quando , temos
Passo 3
Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos não negativos, decrescentes e tendendo a zero), a série
converge.
Passo 4
Para a convergência absoluta, considere
Para x>0 pequeno vale tan(x)>= x, logo
tan!l(1/raiz[3]nr)>= 1raiz[3]n
e
sumn=2^infty1raiz[3]n
é uma p-série com p=tfrac13<=1, que diverge. Pelo teste de comparação,
sumn=2^inftytan!l(1/raiz[3]nr)
também diverge.
Resposta
A série converge, mas não converge absolutamente. Portanto, ela converge condicionalmente.