Diga se converge, absolutamente ou condicionalmente, a série
sumn=2^infty(-1)^n tg(1raiz[3]n)

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a série
sumn=2^infty(-1)^n,tan!l(1/raiz[3]nr)
em termos de convergência (absoluta ou condicional). O conteúdo que vamos usar é o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de comparação com séries p-séries para a convergência absoluta.

Passo 2

Defina
an = tan!l(1/raiz[3]nr)>=0
Para aplicar o critério de Leibniz precisamos que (an) seja decrescente e limntoinftyan=0.
  1. Como a função xmapsto1/raiz[3]x é decrescente e tan(x) é crescente em (0,pi/2), segue que an é decrescente para n>=2.
  2. Como limntoinfty1/raiz[3]n=0 e tan(x)to0 quando xto0, temos
limntoinftyan =limntoinftytan!l(1/raiz[3]nr) =0

Passo 3

Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos não negativos, decrescentes e tendendo a zero), a série
sumn=2^infty(-1)^nan
converge.

Passo 4

Para a convergência absoluta, considere
sumn=2^inftyl|(-1)^nanr| =sumn=2^inftyan =sumn=2^inftytan!l(1/raiz[3]nr)
Para x>0 pequeno vale tan(x)>= x, logo
tan!l(1/raiz[3]nr)>= 1raiz[3]n
e
sumn=2^infty1raiz[3]n
é uma p-série com p=tfrac13<=1, que diverge. Pelo teste de comparação,
sumn=2^inftytan!l(1/raiz[3]nr)
também diverge.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente. Portanto, ela converge condicionalmente.

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