Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo. ,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial .
Este é um caso de EDO separável, pois podemos isolar os termos em de um lado e em do outro.
Passo 2
Separamos as variáveis, escrevendo
Note que , então a integral do lado esquerdo será .
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Sabemos que
Logo
lnl|sin(x)r| = -sin(t) + C,
onde C é constante de integração.
Passo 4
Exponenciando, obtemos
l|sin(x)r| = e^-sin(t)+C = A,e^-sin(t),
com A=e^C>0. Para achar A, usamos t=0 e x(0)=x0:
l|sin(x0)r| = A,e^-sin(0) = A
Como podemos escolher o sinal de A para coincidir com sin(x0), temos
sin(x) = sin(x0),e^-sin(t)
Passo 5
Finalmente, isolamos x pela função inversa do seno (arcsen), tendo em conta o ramo adequado para x: