Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d xd t=-tan (x) cos (t), x(0)=x0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem
dxdt = -tan(x),cos(t),
com condição inicial x(0)=x0.
Este é um caso de EDO separável, pois podemos isolar os termos em x de um lado e em t do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis, escrevendo
dxtan(x) = -cos(t),dt
Note que 1tan(x)=cot(x), então a integral do lado esquerdo será integral cot(x),dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral cot(x),dx = -integral cos(t),dt
Sabemos que
integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r|, integral cos(t),dt = sin(t)
Logo
lnl|sin(x)r| = -sin(t) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
l|sin(x)r| = e^-sin(t)+C = A,e^-sin(t),
com A=e^C>0. Para achar A, usamos t=0 e x(0)=x0:
l|sin(x0)r| = A,e^-sin(0) = A
Como podemos escolher o sinal de A para coincidir com sin(x0), temos
sin(x) = sin(x0),e^-sin(t)

Passo 5

Finalmente, isolamos x pela função inversa do seno (arcsen), tendo em conta o ramo adequado para x:
x(t) = arcsin!l(sin(x0),e^-sin(t)r)

Resposta

x(t) = arcsin!l(sin(x0),e^-sin(t)r)

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