Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar
e
em lados opostos e integrar ambos os lados.
Passo 2
Separemos as variáveis escrevendo
e integramos cada lado:
No lado esquerdo
no direito
Logo a solução geral implícita é
Passo 3
Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
,
em
obtemos
e
Igualando
Passo 4
Substituindo
de volta na solução implícita, temos
Se quisermos isolar
, multiplicamos tudo por 2 e reorganizamos em forma de equação quadrática:
A solução é
Para satisfazer
escolhemos o sinal “
”, pois em
isso dá
.
Resposta
A solução implícita é
e a forma explícita, no ramo que satisfaz
, é