Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d yd x=1-x^22+y, y(1)=-1,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=1-x^22+y, y(1)=-1
Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar y e x em lados opostos e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separemos as variáveis escrevendo
(2+y),dydx=1-x^2 Longrightarrow (2+y),dy=(1-x^2),dx
e integramos cada lado:
integral(2+y),dy = integral1,dx - integral x^2,dx
No lado esquerdo
integral(2+y),dy =2y+y^22,
no direito
integral1,dx-integral x^2,dx =x-x^33+C
Logo a solução geral implícita é
2y+y^22 = x-x^33+C

Passo 3

Agora usamos a condição inicial y(1)=-1. Substituindo x=1, y=-1 em
2y+y^22=x-x^33+C
obtemos
2(-1)+(-1)^22 =-2+12 =-32
e
1-13+C =23+C
Igualando
-32=23+C Longrightarrow C=-32-23 =-136

Passo 4

Substituindo C=-tfrac136 de volta na solução implícita, temos
2y+y^22 = x-x^33 -136
Se quisermos isolar y, multiplicamos tudo por 2 e reorganizamos em forma de equação quadrática:
y^2+4y = 2x-2x^33-133 Longrightarrow y^2+4y-l(2x-tfrac2x^33-tfrac133r)=0
A solução é
y = -4pmraiz16+4l(2x-tfrac2x^33-tfrac133r)2 = -2pmraiz-1+6x-2x^33
Para satisfazer y(1)=-1 escolhemos o sinal “ +”, pois em x=1 isso dá -2+1=-1.

Resposta

A solução implícita é
2y+y^22 = x-x^33-136
e a forma explícita, no ramo que satisfaz y(1)=-1, é
boxedy(x)=-2+raiz-1+6x-2x^33,

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