Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=raizx e pelas retas y=2 e x=0 em torno:
da reta y=2. Determine a área da superfície gerada pela rotação de cada curva em torno da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de y=2 a região limitada por
y=raizx, y=2, x=0,
e, além disso, a área de superfície gerada pela rotação de cada uma dessas curvas em torno de y=2. Vamos usar o método dos discos para o volume e a fórmula da área de revolução
A=2piintegral r,ds
para cada curva.

Passo 2

Escolhendo fatias verticais em x, para 0<= x<=4, cada fatia gira e gera um disco de raio
r(x)=l|2-raizxr|=2-raizx
Logo
V=integral0^4pil(2-raizxr)^2,dx =piintegral0^4l(4-4raizx+xr),dx
Calculando,
integral0^44,dx=16, integral0^44raizx,dx=643, integral0^4x,dx=8,
então
V=pil(16+8-tfrac643r) =pi24cdot3-643 =8pi3

Passo 3

Para a curva y=raizx, 0<= x<=4, temos dy/dx=tfrac12raizx e
ds=raiz1+l(y'r)^2,dx =raiz1+14x,dx =raiz4x+12raizx,dx
O raio até a reta y=2 é r=2-raizx, então
A1 =2piintegral0^4(2-raizx),ds =2piintegral0^4(2-raizx) raiz4x+12raizx,dx =piintegral0^4l(2raizx-1r)raiz4x+1,dx
Fazendo x=t^2 e calculando a integral, obtém-se
A1 =pil(7raiz17+16+lnl(4+raiz17r)r)

Passo 4

Para a reta vertical x=0, 0<= y<=2, girando em torno de y=2, o raio é r=2-y e ds=dy. Logo
A2 =2piintegral0^2(2-y),dy =2pil[2y-tfracy^22r]0^2 =2pil(4-2r) =4pi

Passo 5

A reta y=2 gira sobre si mesma, gerando área nula:
A3=0

Resposta

Volume: 8pi3
Área gerada por y=raizx: pil(7raiz17+16+ln(4+raiz17)r)
Área gerada por x=0: 4pi
Área gerada por y=2: 0

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