Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d yd x=sen(x) cos (x)sen^2(y), y(x0)=y0,

Passo 1

O enunciado é uma EDO de primeira ordem e tipo separável:
dydx=sin(x)cos(x)sin^2(y), y(x0)=y0
Conteúdo: separação de variáveis e integração de cada lado.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
sin^2(y),dy=sin(x)cos(x),dx
e em seguida integramos ambos os lados:
integral sin^2(y),dy=integral sin(x)cos(x),dx

Passo 3

Para a integral do lado esquerdo usamos sin^2(y)=tfrac1-cos(2y)2:
integral sin^2(y),dy =integral 1-cos(2y)2,dy =y2-sin(2y)4+C1

Passo 4

Para a integral do lado direito usamos u=sin(x) ou reconhecemos derivada de sin^2(x):
integral sin(x)cos(x),dx =sin^2(x)2+C2
Juntando C=C2-C1, obtemos
y2-sin(2y)4 =sin^2(x)2+C

Passo 5

Impondo x=x0, y=y0 para achar C:
y02-sin(2y0)4 =sin^2(x0)2+C Longrightarrow C=y02-sin(2y0)4-sin^2(x0)2
Assim a solução implícita final é
y2-sin(2y)4 =sin^2(x)2 +y02-sin(2y0)4-sin^2(x0)2

Resposta

y2-sin(2y)4 =y02-sin(2y0)4 +sin^2(x)-sin^2(x0)2

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