Verifique se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
sumn=1^infty 3^-n 8^n+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty3^-n8^n+1 é convergente ou divergente. O conteúdo principal é séries geométricas e o teste da razão, que iremos usar para analisar a convergência.

Passo 2

Precisamos reescrever o termo geral an=3^-n8^n+1 numa forma de potência r^n. Observe que podemos fatorar 8 e agrupar as potências:
an = 3^-n8^n+1 = 8cdotl(8^nr)cdot3^-n = 8cdotl(83r)^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão, que diz para calcular L=limntoinftyl|an+1/anr|. Temos:

Passo 4

Como L=8/3>1, o teste da razão conclui que a série diverge (se L>1, não há convergência).

Resposta

A série é divergente, pois a razão 8/3 é maior que 1.

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