O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de
por
fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para mostrar que ela é homogênea.
Conteúdo: uma equação é homogênea se
para todo
, ou equivalente se
pode ser escrita como função de
.
Conteúdo: uma equação
Passo 2
Note que o numerador
e o denominador
são ambos polinômios homogêneos de grau 2. Portanto o quociente é homogêneo de grau
.
Alternativamente, dividindo numerador e denominador por (supondo
) obtemos
Alternativamente, dividindo numerador e denominador por
que é função apenas de
. Logo
, dependente só de
.
Resposta
A equação é homogênea, pois o lado direito é função somente de
(grau zero).