O método esboçado no Problema 25 pode ser usado em qualquer equação homogênea. Ou seja, a substituição y=x v(x) transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Esta última equação pode ser resolvida por integração direta, e depois a substituição de v por y / x fornece a solução da equação original. Em cada um dos Problemas 26 a 31:
a. Mostre que a equação dada é homogênea.
d yd x=x^2+x y+y^2x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
dydx=x^2+x,y+y^2x^2
e pede para mostrar que ela é homogênea.
Conteúdo: uma equação dy/dx=f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo tneq0, ou equivalente se f(x,y) pode ser escrita como função de y/x.

Passo 2

Note que o numerador x^2+x,y+y^2 e o denominador x^2 são ambos polinômios homogêneos de grau 2. Portanto o quociente é homogêneo de grau 2-2=0.
Alternativamente, dividindo numerador e denominador por x^2 (supondo xneq0) obtemos
dydx =x^2+x,y+y^2x^2 =1+yx+l(yxr)^2,
que é função apenas de v=y/x. Logo f(x,y)=1+v+v^2, dependente só de y/x.

Resposta

A equação é homogênea, pois o lado direito é função somente de y/x (grau zero).

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